Posted 2021-01-19Updated 2024-08-17learn / mathematics2 小时 read (About 14401 words)

postgraduate-advanced-mathematics

同济高等数学笔记整合(上) 考研用
基于 wmathor/Postgraduate-Advanced-Mathematics
不定积分是为定积分服务的, 它的目的是找原函数

函数与极限

函数

函数:
有集合 $D$ 和 $x$、$y$ 两个变量.
若对任意 $x\in D$, 总存在唯一确定的解 $y$ 与 $x$ 对应,
称 $y$ 为 $x$ 的函数, 记作 $y=f(x)$, $D$ 为 $x$ 的定义域
反函数:
$y=f(x)\enspace(x\in D)$ 严格单调 (单调函数必有单调反函数)
若 $y=f(x) \implies x=\varphi(y)$
则 $\varphi(y)$ 就是 $f(x)$ 的反函数
基本初等函数:
1. 幂函数 $x^a$
2. 指数函数 $a^x\enspace(a>0$ 且 $a\neq 1)$
3. 对数函数 $\log_a{x}\enspace(a>0$ 且 $a\neq 1)$
4. 三角函数 $\sin x,\cos x,\tan x,\cot x,\sec x,\csc x$
初等函数: 由常数、基本初等函数经过四则运算、复合运算而成的式子

初等性质

奇偶性
设 $y=f(x)\enspace$ ($x\in D$, $D$ 关于原点对称)
若对于 $\forall x\in D$, 有
$f(-x)=-f(x)$, 则为奇函数;
$f(-x)=f(x)$, 则为偶函数
单调性
设 $y=f(x)\enspace(x\in D)$
若 $\exist x_1,x_2\in D$ 且 $x_1<x_2$ 时 , 有 $f(x_1)<f(x_2)$, 称 $f(x)$ 在 $D$ 上严格单调递增;
若 $\exist x_1,x_2\in D$ 且 $x_1<x_2$ 时 , 有 $f(x_1)>f(x_2)$, 称 $f(x)$ 在 $D$ 上严格单独递减
有界性
设 $y=f(x)\enspace(x\in D)$, 函数的界 $M$
若 $\exist M>0$, 对于 $\forall x\in D$, 有 $|f(x)|\leqslant M$, 称 $f(x)$ 在 $D$ 上有界

若 $\forall x\in D$, $f(x)\geqslant M_1$, 有下界
若 $\forall x\in D$, $f(x)\leqslant M_2$, 有上界
如: $|f(x)|\leqslant 3\hArr\begin{cases} f(x)\geqslant -3 \\ f(x)\leqslant 3 \end{cases}$
周期性
设 $y=f(x)\enspace(x\in D)$
若 $\exist T>0$, 对于 $\forall x\in D\enspace(x+T\in D)$, 有 $f(x+T)=f(x)$, 称 $f(x)$ 为周期函数

数列极限

数列收敛定义 ($\epsilon−N$):
设数列 $\{a_n\}$, $A$ 为极限值, 最大误差 $\varepsilon$, 数列在元素 $a_N$ 后极限有效(即之后数列元素与极限值的差值 $\leqslant\varepsilon$),
若 $\forall\varepsilon>0$, $\exist N>0$, 当 $n>N$ 时 $|a_n-A|<\varepsilon$
称数列 $\{a_n\}$ 收敛于极限 $A$, 记作 $\lim\limits_{n\to\infty}=A$ 或 $a_n\to A\enspace(n\to\infty)$
例:
设通项公式 $a_n=\frac{n+1}{2n}$, 具体值为 $\frac{3}{4},\frac{2}{3},\frac{5}{8},\frac{3}{5},\dots$, 观察得极限 $a_n\to\frac{1}{2}$
设 $\varepsilon=\frac{1}{10}>0$, 则 $|a_n-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2n}<\frac{1}{10}\rArr n>5$.
同理:
若 $\varepsilon=\frac{1}{100}>0$, 则 $\frac{1}{2n}<\frac{1}{100}\rArr n>50$
若 $\varepsilon=\frac{1}{1000}>0$, 则 $\frac{1}{2n}<\frac{1}{1000}\rArr n>500$
由此发现该数列有极限: $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{2}$
性质
1. 唯一性: 数列有极限必唯一
  
  证明: (反证法)
  设数列有两个极限 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$, $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=B$, 且 $A\neq B$
  不妨设 $A>B$, $\varepsilon=-\frac{A+B}{2}$
  $\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$
  $\therefore\exist N_1>0$, 当 $n>N_1$ 时,
  $\mskip{1em}$➀ $|a_n-A|<\varepsilon\Harr\frac{3A+B}{2}<a_n<\frac{A-B}{2}$
  $\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=B$
  $\therefore\exist N_2>0$, 当 $n>N_2$ 时,
  $\mskip{1em}$➁ $|a_n-B|<\varepsilon\Harr\frac{A-B}{2}<a_n<\frac{-A+B}{2}$
  取 $N=\operatorname{max}\{N_1,N_2\}$, 当 $n<N_2$ 时, ➀、➁ 都成立, 但这两个不等式没有交集, 矛盾, 所以 $A>B$ 不对, 同理 $B>A$ 也不对.
  $\therefore A=B$, 极限值只有一个.
2. 有界性: 有极限一一定有界, 有界不一定有极限(必须得是单调有界)
  若 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$, 则 $\exist M>0$, 使得 $|a_n|\leqslant M$, 反之不成立.
  证明:
  - $\rArr$
    取任意 $\varepsilon>0$
    $\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$
    $\therefore\exist N>0$, 当 $n>N$ 时 , $|a_n-A|<\varepsilon$
    $\because||a_n|-|A||\leqslant|a_n-A|$ (三角不等式)
    $\therefore$ 当 $n>N$ 时, $||a_n|-|A||<\varepsilon\rArr|a_n|<\varepsilon+|A|$
    取 $M=\operatorname{max}\{|a_1|,|a_2|,\dots,|a_n|,\varepsilon+|A|\}$, 对于 $\forall n$, 有 $|a_n|\leqslant M$
  - $\nLeftarrow$
    取 $a_n=1+(-1)^n$, 有 $|a_n|\leqslant 2$, 但 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ 不存在
3. 保号性:
  若 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\begin{cases} >0 \\ <0 \end{cases}$, 则 $\exist N>0$, 当 $n>N$ 时, $a_n\begin{cases} >0 \\ <0 \end{cases}$
  证明:
  1. 若 $A>0$, 取 $\varepsilon=\frac{A}{2}>0$
    $\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$
    $\therefore\exist N>0$, 当 $n>N$ 时,
    $\mskip{1em}|a_n-A|<\frac{A}{2}\hArr\frac{A}{2}<a_n<\frac{3A}{2}\rArr a_n>\frac{A}{2}>0$
  2. 若 $A<0$, 取 $\varepsilon=-\frac{A}{2}>0$
    $\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$
    $\therefore\exist N>0$, 当 $n>N$ 时,
    $\mskip{1em}|a_n-A|<-\frac{A}{2}\hArr\frac{3A}{2}<a_n<\frac{A}{2}\rArr a_n<\frac{A}{2}<0$

函数极限

定义
- $\varepsilon-\delta$ 语言定义法: ($\varepsilon$ 为值域的误差, $\delta$ 为定义域的误差)
  若 $\forall\varepsilon>0$, $\exist\delta>0$, 当 $|x-a|<\delta$ 时 $|f(x)-A|<\varepsilon$,
  称 $f(x)$ 当 $x\to 0$ 时以 $A$ 为极限
  记作 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A\enspace(x\to a)$
- $\varepsilon-X$ 语言定义法: ($X$ 为定义域极限存在临界点)
  若 $\forall\varepsilon>0$, $\exist X>0$
  1. 当 $x>X$ 时, $|f(x)-A|<\varepsilon$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A$
  2. 当 $x<-X$ 时, $|f(x)-A|<\varepsilon$, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=A$
  3. 当 $|x|>X$ 时, $|f(x)-A|<\varepsilon$, $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A$
性质
1. 唯一性(函数有极限必唯一)
  
  证明:
  设 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$, $\lim\limits_{x\to a}f(x)=B$
  不妨设 $A>B$, 取 $\varepsilon=\frac{A-B}{2}>0$
  $\because\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$
  $\therefore\exist\delta_1>0$, 当 $|x-a|<\delta_1$ 时,
  $\mskip{1em}$➀ $|f(x)-A|<\frac{A-B}{2}\hArr\frac{A+B}{2}<f(x)<\frac{3A-B}{2}$
  又 $\because\lim\limits_{x\to a}f(x)=B$
  $\therefore\exist\delta_2>0$, 当 $|x-a|<\delta_2$ 时,
  $\mskip{1em}$➁ $|f(x)-B|<\frac{A-B}{2} \hArr \frac{3B-A}{2}<f(x)<\frac{A+B}{2}$
  取 $\delta=\operatorname{min}\{\delta_1,\delta_2\}$, 当 $|x-a|<\delta$ 时 ➀、➁ 皆成立, 矛盾.
  $\therefore A>B$ 不对, 同理 $A<B$ 也不对.
  $\therefore A=B$, 极限值只有一个.
2. 局部有界性:
  设 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$, $\exist\delta>0$、$M>0$, 当 $|x-a|<\delta$ 时, $|f(x)|\leqslant M$
  
  证明:
  取任意 $\varepsilon>0$
  $\because\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$
  $\therefore\exist\delta>0$, 当 $|x-a|<\delta$ 时, $|f(x)-A|<\varepsilon$
  又 $\because||f(x)|-|A||\leqslant|f(x)-A|$ (三角不等式)
  $\therefore$ 当 $|x-a|<\delta$ 时,
  $\mskip{1em}||f(x)|-|A||<\varepsilon\rArr|f(x)|<\varepsilon+|A|(=M)$
  $\therefore$ 当 $|x-a|<\delta$ 时, $|f(x)|\leqslant M$
3. 保号性:
  设 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=A\begin{cases} >0 \\ <0 \end{cases}$, 则 $\exist\delta>0$, 当 $|x-a|<\delta$ 时, $f(x)\begin{cases} >0 \\ <0 \end{cases}$
  证明:
  1. 若 $A>0$, 取 $\varepsilon=\frac{A}{2}>0$
    $\because\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$
    $\therefore\exist\delta>0$, 当 $|x-a|<\delta$ 时 $|f(x)-A|<\frac{A}{2}\rArr f(x)>\frac{A}{2}>0$
  2. 若 $A<0$, 取 $\varepsilon=-\frac{A}{2}>0$
    $\because\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$
    $\therefore\exist\delta>0$, 当 $|x-a|<\delta$ 时 $|f(x)-A|<-\frac{A}{2}\rArr f(x)<\frac{A}{2}<0$
Notes:
1. $\{x|0<|x-a|<\delta\}$ 可表示为 $\mathring{\bigcup}(a\cdot\delta)$ (读作 $a$ 的去心 $\delta$ 邻域)
2. $x\to a$ 时 $\begin{cases} x\to a^- \\ x\to a^+ \end{cases}$
3. 左极限与右极限
  若 $\forall\varepsilon>0$, $\exist\delta>0$
  1. 当 $x\in(a-\delta,a)$ 时 $|f(x)-A|<\varepsilon$,
    此时 $A$ 称为 $f(x)$ 在 $x=a$ 处左极限,
    记为 $\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=A$ 或 $f(a-0)=A$
  2. 当 $x\in(a,a+\delta)$ 时 $|f(x)-B)|<\varepsilon$,
    此时 $B$ 称为 $f(x)$ 在 $x=a$ 处右极限,
    记为 $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=B$ 或 $f(a+0)=B$
4. $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ 意味着左右极限存在且相等
5. $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ 与 $f(a)$ 无关 (除非该点连续)
  如:
  1. 分段函数 $f(x)=\begin{cases} x-1 & x<0 \\ 0 & x=0 \\ 2x-1 & x>0 \end{cases}$, 它的极限为 $\begin{cases} \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=-1 \\ \lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=-1 \end{cases}\rArr\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-1$, 但 $f(0)=0$
  2. $\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}(x+2)=4$, 但 $f(2)$ 时分母为零

无穷小与无穷大

无穷小
1. $\varepsilon-\delta$ 定义: 若 $\forall\varepsilon>0$, $\exist\delta>0$, 当 $|x-x_0|<\delta$ 时 , $|\alpha(x)-0| <\varepsilon$, 称 $\alpha(x)$ 在 $x\to x_0$ 时无穷小, 记 $\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$
2. 常规性质:
  1. 若 $\alpha\to 0$, $\beta\to 0$, 则 $\begin{cases} \alpha\pm\beta\to 0 \\ k\alpha\to 0 \\ \alpha\beta\to0 \end{cases}$
  2. 无穷小乘有界函数还是无穷小: $\alpha\to 0$, $|\beta|\leqslant M$, 则 $\alpha\beta\to 0$
  3. (重要)任意极限加无穷小还是原极限 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A \hArr \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A+\alpha\enspace(\alpha\to 0)$
3. 注意: 0 是无穷小, 但无穷小不一定为 0
无穷大
- $\varepsilon-\delta$ 定义: 若 $\forall M>0$, $\exist\delta>0$, 当 $|x-x_0|<\delta$ 时, $|f(x)|\geqslant M$,
  称 $f(x)$ 在 $x\to x_0$ 时无穷大, 记作 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$
- $\varepsilon-X$ 定义: 若 $\forall M>0$, $\exist X>0$, 当 $x>X$ 时, $|f(x)|\geqslant M$,
  称 $f(x)$ 在 $x\to +\infty$ 时无穷大, 记作 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\infty$
无穷小与无穷大的关系: $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0\hArr\lim\limits_{x\to x_0}\frac{1}{f(x)}=\infty$

极限的运算法则

四则极限法则
有 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$, $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B$
1. 加减: $\lim\limits_{x\to x_0}[f(x)\pm g(x)]=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\pm\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=A\pm B$
2. 数乘: $\lim\limits_{x\to x_0}kf(x)=k\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=kA$
3. 乘法: $\lim\limits_{x\to x_0}[f(x)g(x)]=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=AB$
4. 除法: $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}=\frac{A}{B}$
  若最后是无穷大比无穷大, 极限除法的值以最高阶系数为准:
  设 $P(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$, $Q(x)=b_mx^m+\dots+b_1x+b_0$
  则 $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=\begin{cases} \frac{a_n}{b_m} & n=m \\ \infty & n>m \\ 0 & n<m \end{cases}$
复合函数极限法则:
设 $u=\varphi(x)\neq a$, $\lim\limits_{u\to a}f(u)=A$, $\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)=a$, 则 $\lim\limits_{x\to x_0}f[g(x)]=A$

极限存在法则和两个重要极限

极限存在准则
1. 夹逼定理
  1. 数列型:
    若 $\begin{cases} a_n\leqslant b_n\leqslant c_n \\ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}c_n=A \end{cases}$
    则 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=A$
    
    证明方法: 利用 $\varepsilon−N$ 定义推出 $A-\varepsilon<b_n<A+\varepsilon\rArr|b_n-A|<\varepsilon$
  2. 函数型:
    设 $\begin{cases} f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x) \\ \lim f(x)=\lim h(x)=A \end{cases}$
    则 $\lim g(x)=A$
2. 单调有界数列必有极限
  - $\{a_n\}$ 有界 $\hArr\{a_n\}$ 有上下界
  - 若 $\{a_n\}$ 单调递增: $\begin{cases} \text{有上界}\rArr\lim\limits_{n\to\infty}a_n \text{存在} \\ \text{无上界}\rArr\lim\limits_{n\to\infty}a_n\text{不存在} \end{cases}$
  - 若 $\{a_n\}$ 单调递减: $\begin{cases} \text{有下界}\rArr\lim\limits_{n\to\infty}a_n \text{存在} \\ \text{无下界}\rArr\lim\limits_{n\to\infty}a_n\text{不存在} \end{cases}$
两个重要极限
1. $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
  证明:
  
  设 $0<x<\frac{\pi}{2}$
  $S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\sin x$
  $S_{扇形AOB}=\frac{1}{2}x$
  $S_{RT\triangle AOC}=\frac{1}{2}\tan x$
  $\therefore$ 结合图片和三者面积公式可得 $\sin x<x<\tan x \rArr 1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$
  $\because\lim\limits_{x\to0}\cos x=1$
  $\therefore\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{\cos x}=1$, $\lim\limits_{x\to0}1=1\rArr\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=1$ (夹逼定理) $\rArr\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
2. 欧拉数 $e$ 的定义: $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$

无穷小的比较

无穷小的比较
$\alpha\to 0$, $\beta\to 0$
若 $\lim\frac{\beta}{\alpha}=0$, 称 $\beta$ 为 $\alpha$ 的高阶无穷小, 记 $\beta=o(\alpha)$
若 $\lim\frac{\beta}{\alpha}=\infty$, 称 $\beta$ 为 $\alpha$ 的低阶无穷小
若 $\lim\frac{\beta}{\alpha^k}=k\enspace(k\neq 0,\infty)$, 称 $\beta$ 为 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小
若 $\lim\frac{\beta}{\alpha}=k\enspace(k\neq 0,\infty)$, 称 $\beta$ 为 $\alpha$ 的同阶无穷小, 记 $\beta=O(\alpha)$
若 $\lim\frac{\beta}{\alpha}=1$, 称 $\beta$ 为 $\alpha$ 的等价无穷小, 记 $\beta\sim\alpha$
等价无穷小是同阶无穷小的充分不必要条件
等价无穷小的性质
$\alpha\to 0$, $\beta\to 0$
1. $\alpha\sim\beta\hArr\beta=\alpha+o(\alpha)$
2. 若 $\alpha\sim\alpha_1$, $\beta\sim\beta_1$, $\lim\frac{\beta_1}{\alpha_1}=A$, 则 $\lim\frac{\beta}{\alpha}=A$
常用等价无穷小 ($x\to 0$)
1. $x\sim\sin x$, $x\sim\tan x$, $x\sim\arcsin x$, $x\sim\arctan x$, $x\sim\ln(1+x)$, $x\sim e^x-1$
2. $1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$
3. $(1+x)^a-1\sim ax$

函数的连续性与间断点

函数连续是极限存在的充分不必要条件, 因为间断不代表极限不存在

连续
1. 函数在一点连续: $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ 或 $f(a-0)=f(a+0)=f(a)$
  若 $f(a-0)=f(a)$, 称 $f(a)$ 在 $x=a$ 左连续
  若 $f(a+0)=f(a)$, 称 $f(a)$ 在 $x=a$ 右连续
2. 函数在闭区间连续:
  $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有定义, 若:
  1. $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内处处连续
  2. $f(a)=f(a+0)$, $f(b)=f(b-0)$
  则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 记 $f(x)\in C[a,b]$
间断点及分类
1. 间断: 若 $\lim\limits_{x\to a}f(x)\neq f(a)$, 称 $f(x)$ 在 $x=a$ 间断
2. 分类:
  1. 第一类间断点: $f(a-0)$, $f(a+0)$ 皆存在
    - 可去间断点: $f(a-0)=f(a+0)\neq f(a)$
    - 跳跃间断点: $f(a-0)\neq f(a+0)$
      
      如 $\lim\limits_{x\to 0^-}e^\frac{1}{x}=0$, $\lim\limits_{x\to 0^+}e^\frac{1}{x}=+\infty$
  2. 第二类间断点: $f(a-0)$, $f(a+0)$ 至少一个不存在

连续函数运算及初等函数连续性

连续函数运算
1. 四则运算
  $f(x)$, $g(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续, 则
  1. $f(x)\pm g(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续
  2. $f(x)g(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续
  3. $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在 $x=x_0$ 处连续 $(g(x)\neq 0)$
  (证明思路是证明该点处极限与函数实际取该点值相等, 也就是上节讲到的函数连续定义)
2. 复合运算
  $f(u)$, $u=\varphi(x)\neq a$
  若 $\lim\limits_{u\to a}f(u)=f(a)$, $\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)=a$, 则 $\lim\limits_{x\to x_0}f[\varphi(x)]=f[\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)]=f(a)$
初等函数连续性: 基本初等函数、初等函数在其定义域内连续

闭区间上连续函数的性质

最值定理
$f(x)\in C[a,b]$
$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上取到最小值 $m$ 和最大值 $M$
即 $\exist x_1,x_2\in[a,b]$, 使 $f(x_1)=m$, $f(x_2)=M$
有界定理
$f(x)\in C[a,b]$
$\exist k>0$, 使 $\forall x\in[a,b]$ 有 $|f(x)|\leqslant k$
零点定理
$f(x)\in C[a,b]$
若 $f(a)f(b)<0$
$\exist c\in[a,b]$ 使 $f(c)=0$
介值定理
$f(x)\in C[a,b]$
$\forall\eta\in[m,M]$, $\exist\xi\in[a,b]$ 使 $f(\xi)=\eta$

导数与微分

导数的概念

导数定义
设 $y=f(x)\enspace(x\in D)$, $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\enspace(x_0,(x_0+\Delta x)\in D)$
若 $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在, 称 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导, 该极限称为 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的导数, 记 $f^\prime(x_0)$ 或 $\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0}$

$$ f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $$

(证明方法: 代入 $\Delta x=x-x_0$)
导函数定义: $f^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$
注意:
1. 可导时左右导数存在且相等
  左导数: $\left.\begin{array}{c} \lim\limits_{\Delta x\to 0^-}\frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \lim\limits_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{array}\right\} =f_-^\prime(x_0)$
  右导数: $\left.\begin{array}{c} \lim\limits_{\Delta x\to 0^+}\frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \lim\limits_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{array}\right\} =f_+^\prime(x_0)$
2. 可导一定连续, 连续不一定可导.
  (因为连续函数在点 $f^\prime(x)=0$ 处不可导, 如正弦曲线的 $y=1$ 处左右导数不同)

常见初等函数的导函数

$C^\prime=0$
$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$
$(a^x)^\prime=a^x\ln a$
特别地 $(e^x)^\prime=e^x$
$(\log_a x)^\prime=\frac{1}{x\ln a}$
$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$
$(\sin x)^\prime=\cos x$
$(\cos x)^\prime=-\sin x$
$(\tan x)^\prime=\sec^2x$
$(\cot x)^\prime=-\csc^2x$
$(\sec x)^\prime=\sec x\tan x$
$(\csc x)^\prime=-\csc x\cot x$
$(\arcsin x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arccos x)^\prime=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1+x^2}$
$(\operatorname{arccot}x)^\prime=-\frac{1}{1+x^2}$
$(\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{nx}{2})$
$(\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{nx}{2})$
$(\frac{1}{ax+b})^{(n)}=(-1)^n n!\frac{a^n}{(ax+b)^{n+1}}$

证明:
第一步代入 $f^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$ 会用到二项式展开式

$(a^x)^\prime=a^x\ln a$ 会用到 $x=e^{\ln x}$ 和 $x\sim(e^x-1)$

$(\log_a x)^\prime=\frac{1}{x\ln a}$

$$ f^\prime(x)=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\overbrace{\dfrac{\log_a(x+\mathrm{d}x)-\log_a x}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\log_a(\frac{x+\mathrm{d}x}{x})}{\mathrm{d}x}}^{\log_a \frac{M}{N} =\log_a M-\log_a N}=\dfrac{\log_a(1+\frac{\mathrm{d}x}{x})}{\mathrm{d}x} =\overbrace{\dfrac{\frac{\ln(1+\frac{\mathrm{d}x}{x})}{\ln a}}{\mathrm{d}x}}^{\log_a N=\frac{\log_b N}{\log_b a}} =\overbrace{\dfrac{\frac{\frac{\mathrm{d}x}{x}}{\ln a}}{\mathrm{d}x}}^{x\sim\ln(1+x)}=\dfrac{1}{x\ln a} $$

$$ \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} =\underbrace{\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\sin x\cos\Delta x+\cos x\sin\Delta x-\sin x}{\Delta x}}_{\text{和差角公式}} =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\sin x(\cos\Delta x-1)}{\Delta x}+\cos x\lim\limits_{\Delta x\to 0}\underbrace{\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}}_{x\sim\sin x}=\cos x $$

$(\cos x)^\prime$ 的证明也同理
后面的都是将其化为 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的形式然后利用求导的四则运算法则证明 (如 $\sec x=\frac{1}{\cos x}$、$\csc x=\frac{1}{\sin x}$)

使用反函数求导法则:
这里只证明 $\arcsin x$
$f(x):y=\arcsin x$, $\varphi(y):x=\sin y$
$f^\prime(x)=\frac{1}{\varphi^\prime(y)}\rArr(\arcsin x)^\prime=\dfrac{1}{\cos y}=\underbrace{\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}}_{\text{平方关系式}}=\underbrace{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}_{\text{带入} x=\sin y}$

使用高阶导数归纳法

$f(x)=\sin x$
$f^\prime(x)=\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})$
$f^{\prime\prime}(x)=-\sin x=\sin(x+\frac{2\pi}{2})$
$f^{\prime\prime\prime}(x)=-\cos x=\sin(x+\frac{3\pi}{2})$
$f^{(4)}(x)=\sin x=\sin(x+\frac{4\pi}{2})$
$\therefore f^{(n)}(x)=\sin(x+\frac{nx}{2})$
同理 $(\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{nx}{2})$

$f(x)=(2x+1)^{-1}$
$f^\prime(x)=(-1)(2x+1)^{-2}\times 2$
$f^{\prime\prime}(x)=(-1)(-2)(2x+1)^{-3}\times 2^2$
$\therefore f^{(n)}(x)=(-1)^n\times n! \times 2^n \times (2x+1)^{-(n+1)}$

求导法则

四则法则
设 $u(x)$, $v(x)$ 可导, 则
1. 加减: $[u(x)\pm v(x)]^\prime=u^\prime(x)\pm v^\prime(x)$
2. 数乘: $(ku)^\prime=ku^\prime$
3. 乘: $[u(x)v(x)]^\prime=u^\prime(x)v(x)+u(x)v^\prime(x)$
4. 除: $[\frac{u(x)}{v(x)}]^\prime=\frac{u^\prime(x)v(x)-u(x)v^\prime(x)}{v^2(x)}\enspace(v(x)\neq 0)$
  推论: $(uvw)^\prime=u^\prime vw+uv^\prime w+uvw^\prime$
证明:
1. 令 $\varphi(x)=u(x)+v(x)$
  $\begin{array}{rl} \Delta\varphi & =\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x) \\ & =u(x+\Delta x)+v(x+\Delta x)-u(x)-v(x) \\ & =\Delta u+\Delta v \end{array}$
  $\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta\varphi}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}+\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta x}=u^\prime(x)+v^\prime(x)$
2. 令 $\varphi(x)=u(x)v(x)$
  
  $$ \begin{array}{rl} \footnotesize\Delta\varphi & \footnotesize=\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x) \\ & \footnotesize=u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x) \\ & \footnotesize=u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x) \\ & \footnotesize=\Delta uv(x+\Delta x)+u(x)\Delta v \end{array} $$
  
  $\begin{array}{rl} \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta\varphi}{\Delta x} & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}\cdot\lim\limits_{\Delta x\to 0}v(x+\Delta x)+u(x)\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta v}{\Delta x} \\ & =u^\prime(x)v(x)+u(x)v^\prime(x) \end{array}$
  提示: $\lim\limits_{\Delta x\to0}v(x+\Delta x)=v(x)$
3. 令 $\varphi(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\enspace(v(x)\neq 0)$
  
  $$ \begin{array}{rl} \footnotesize\Delta\varphi=\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x) & =\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)} \\ & =\frac{u(x+\Delta x)v(x)-v(x+\Delta x)u(x)}{v(x+\Delta x)v(x)} \\ & =\frac{[u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x)]-[u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)]}{v(x+\Delta x)v(x)} \\ & =\frac{\Delta uv(x)-u(x)\Delta v}{v(x+\Delta x)v(x)} \end{array} $$
  
  $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta\varphi}{\Delta x}=\frac{\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}\cdot v(x)-u(x)\cdot\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta v}{\Delta x}}{v(x)\lim\limits_{\Delta x\to0}v(x+\Delta x)}=\frac{u^\prime(x)v(x)-u(x)v^\prime(x)}{v^2(x)}$
  提示: $\lim\limits_{\Delta x\to 0}v(x+\Delta x)=v(x)$
反函数求导法则
$y=f(x)$ 可导且 $f(x)^\prime\neq 0$ (导数不为零意味着严格单调, 即反函数存在条件),
则反函数 $x=\varphi(y)$ 可导且 $\varphi^\prime(y)=\frac{1}{f^\prime(x)}$

证明:
$\varphi^\prime(y)=\lim\limits_{\Delta y\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}=\lim\limits_{\Delta y\to 0}\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\underbrace{\lim\limits_{\Delta x\to 0}}_{\text{式➀}}\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{f^\prime(x)}$
➀ $\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\neq 0,\infty\rArr\Delta y=O(\Delta x)$ 同阶无穷小
复合函数求导法则
(如何判断复合函数: 看其中一个函数的值域是否是另一个函数的定义域的子集)
$y=f(u)$ 可导, $u=\varphi(x)$ 可导且 $\varphi^\prime(x)\neq 0$, 则 $y=f(\varphi(x))$ 可导
有 $f[\varphi(x)]^\prime=f^\prime[\varphi(x)]\varphi^\prime(x)$
证明:
- 用极限:
  
  $$ \begin{array}{rl} f[\varphi(x)]^\prime & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \\ & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}(\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}) \\ & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x} \\ & =\underbrace{\lim\limits_{\Delta u\to 0}}_{\text{式➀}}\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x} \\ & =f^\prime(u)\cdot\varphi^\prime(x) \end{array} $$
  
  ➀ $\varphi^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}\neq 0,\infty\rArr\Delta u=O(\Delta x)$ 同阶无穷小
- 用微分: $f[\varphi(x)]^\prime=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=f^\prime(u)\cdot\varphi^\prime(x)=f^\prime[\varphi(x)]\varphi^\prime(x)$

高阶导数

二阶及以上的导数称为高阶导数.

二阶导数: 对导数再求导一次就是二阶导数
$f^{\prime\prime}(x)=[f^\prime(x)]^\prime=\frac{\mathrm{d}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$
同理三阶导数 $\frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}$, $n$ 阶导数 $f^{(n)}=\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}$
高阶导数求导方法:
1. 归纳法
2. 公式法:
  $(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime\rArr(uv)^{\prime\prime}=(u^\prime v)^\prime+(uv^\prime)^\prime=u^{\prime\prime}v+2u^\prime v^\prime+uv^{\prime\prime}$
  (重要)莱布尼茨公式
  $(uv)^{(n)}=C_n^0 u^{(n)}v+C_n^1 u^{(n-1)}v^\prime+C_n^2 u^{(n-2)}v^{\prime\prime}+\dots+C_n^n uv^{(n)}$

隐函数及由参数方程确定的函数求导

隐函数求导
- 显函数: $y=f(x)$
- 隐函数: $F(x,y)=0\enspace\underrightarrow{\text{显式化}}\enspace y=f(x)$
- 方法:
  $F(x,y)=0$, 将 $y$ 视作关于 $x$ 的函数 ($y=f(x)$), 两边对 $x$ 求导.
  求导时 $y^\prime=f^\prime(x)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$, 最终将一边化为 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$
  
  例: $e^{x+y}=x^2+y+1$ 确定 $y$ 为 $x$ 的函数, 求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$
  解: 两边对 $x$ 求导得
  
  $$ \begin{array}{rl} & e^{x+y}(1+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})=2x+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \\ \hArr & (e^{x+y}-1)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x-e^{x+y} \\ \hArr & \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{2x-e^{x+y}}{e^{x+y}-1} \end{array} $$
参数方程确定的函数求导
$\begin{cases} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases}$, 其中 $\varphi(t) , \psi(t)$ 可导, 则 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)}\enspace(\varphi(t)\neq 0)$

证明:
$\because\varphi^\prime(t)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$, $\psi^\prime(t)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$
$\therefore\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

微分

(一般情况下都是先有导数后求微分, 微分的主要应用是在知道导数的情况下求 $\Delta y$ 的近似值 $\mathrm{d}y$)

微分定义
1. 什么是微分
  $y=f(x)\enspace(x\in D)$, $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\enspace(x_0,(x_0+\Delta x)\in D)$
  若 $\Delta x\to 0$ 时 , $\Delta y$ 和 $\Delta x$ 的关系能化为线性形式: $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$
  则称该函数在点 $x=x_0$ 可微, 记作 $\left.\mathrm{d}y\right|_{x=x_0}=A\Delta x=A\mathrm{d}x$
2. 定理: 可导 $\hArr$ 可微
  
  证明:
  设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微, 则有 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$.
  当 $\Delta x\neq 0$ 时
  
  $$ \begin{array}{rl} \frac{\Delta y}{\Delta x} & =A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \\ \hArr\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}[A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}]=A \end{array} $$
  
  由上述证明可知, 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微, 其微分为
  
  $$ \left.\mathrm{d}y\right|_{x=x_0}=f^\prime(x_0)\Delta x $$
  
  $\Delta y$ 可表示为该点的微分 $\left.\mathrm{d}y\right|_{x=x_0}$ 加上 $\Delta y$ 与 $\left.\mathrm{d}y\right|_{x=x_0}$ 的差值:
  
  $$ \begin{array}{rl} & \Delta y=\left.\mathrm{d}y\right|_{x=x_0}+(\Delta y-\left.\mathrm{d}y\right|_{x=x_0}) \\ \rArr & \Delta y=f^\prime(x_0)\Delta x+\underbrace{[\Delta y-f^\prime(x_0)\Delta x]}_{\text{式➀}} \end{array} $$
  
  当 $\Delta x\to 0$ 时
  
  $$ \begin{array}{rl} \text{➀} & =\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y-f^\prime(x_0)\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta x \\ & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta y-\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta x \\ & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}(\frac{\Delta y\Delta x}{\Delta x}-\frac{\Delta y\Delta x}{\Delta x}) \\ & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}(\frac{0}{\Delta x})=0 \rArr o(\Delta x) \end{array} $$
3. 函数的微分: 结合导函数定义可得 $\mathrm{d}y=f^\prime(x)\Delta x=f^\prime(x)\mathrm{d}x$
  ($\mathrm{d}x=x^\prime\Delta x=\Delta x$)
近似计算:
若要求 $f(x)$ 的值, 可以找离 $x$ 较近的点 $x_0$, 它们的距离是 $\Delta x$, 且 $f(x_0)$ 的值已知
则 $f(x)=f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+\Delta y\approx f(x_0)+f^\prime(x_0)\Delta x$
- 求近似值还可利用 0 的特殊性:
  $x\to 0$ 时, $f(x)=f(0+x)\approx f(0)+f^\prime(0)x$
  1. $\sqrt[n]{1+x}\approx 1+\frac{x}{n}$
  2. $e^x\approx 1+x$
  3. $\ln(1+x)\approx x$
微分公式
1. $\mathrm{d}(c)=c^\prime\mathrm{d}x=0$
2. $\mathrm{d}(x^a)=ax^{a-1}\mathrm{d}x$
3. $\mathrm{d}(a^x)=a^x\ln a\mathrm{d}x$
4. $\mathrm{d}(\log_a x)=\frac{1}{x\ln a}\mathrm{d}x$
5. $\mathrm{d}(\sin x)=\cos x\mathrm{d}x$
  $\mathrm{d}(\cos x)=-\sin x\mathrm{d}x$
  $\mathrm{d}(\tan x)=\sec^2 x\mathrm{d}x$
  $\mathrm{d}(\cot x)=-csc^2 x\mathrm{d}x$
  $\mathrm{d}(\sec x)=\sec x\tan x\mathrm{d}x$
  $\mathrm{d}(\csc x)=-\csc x\cot x\mathrm{d}x$
6. $\mathrm{d}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$
  $\mathrm{d}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$
  $\mathrm{d}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$
  $\mathrm{d}(\operatorname{arccot} x)=-\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$
微分四则运算
设函数 $u$, $v$
1. 加减: $\mathrm{d}(u\pm v)=\mathrm{d}u\pm\mathrm{d}v$
2. 乘: $\mathrm{d}(uv)=\mathrm{d}u\cdot v+u\cdot\mathrm{d}v$
3. 除: $\mathrm{d}(\frac{u}{v})=\frac{\mathrm{d}u\cdot v-u\cdot \mathrm{d}v}{v^2}$
复合函数求微分
$y=f(u)$, $u=\varphi(x)$
则 $\mathrm{d}y=f^\prime[\varphi(x)]\varphi^\prime(x)\mathrm{d}x=f^\prime[\varphi(x)]\mathrm{d}\varphi(x)=f^\prime(u)\mathrm{d}u$

微分中值定理及导数应用

微分中值定理

罗尔中值定理

若:
1. $f(x)\in C[a,b]$
2. $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导
3. $f(a)=f(b)$
则 $\exist\xi\in(a,b)$, 使 $f^\prime(\xi)=0$
拉格朗日中值定理

若:
1. $f(x)\in C[a,b]$
2. $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导
则 $\exist\xi\in(a,b)$, 使 $f^\prime(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

(几何意义为 $a$, $b$ 间存在某个点的斜率等于 $a$, $b$ 两点所成直线的斜率. 某点导数就是该点切线的斜率)
证明:
作虚线 $L_{ab}$ 连接点 $a$、$b$, 带入直线点斜式方程可得:
$L_{ab}:y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\hArr y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$
令 $\varphi(x)=\text{曲}-\text{直}=f(x)-y=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$
$\varphi(x)\in C[a,b]$, $\varphi(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导且 $\varphi(a)=\varphi(b)=0$
根据罗尔中值定理, $\exist\xi\in(a,b)$, 使 $\varphi^\prime(\xi)=0$
$\therefore\varphi^\prime(\xi)=f^\prime(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\rArr f^\prime(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
柯西中值定理
若:
1. $f(x),g(x)\in C[a,b]$
2. $f(x),g(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导
3. $g^\prime(x)\neq 0\enspace(x\in(a,b))$
则 $\exist\xi\in(a,b)$, 使 $\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

证明:
构造辅助函数 $\varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]$
$\varphi(x)\in C[a,b]$, $\varphi(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导且可知 $\varphi(a)=\varphi(b)=0$
$\therefore\exist\xi\in(a,b)$, 使 $\varphi^\prime(\xi)=0$
$\therefore\varphi^\prime(\xi)=f^\prime(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g^\prime(\xi)=0\rArr\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

洛必达法则

问题的起源: 求 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$
解:
法1: 原式 $=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x(1-\overbrace{\cos x)}^{\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x\cdot\frac{x^2}{2}}{x^3}=\frac{1}{2}$
法2: 原式 $=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-x}{x^3}=0$ (不行, 精确度不够)
同样使用等价无限小, 却得到了不同的结果.
说明对于存在无穷小比无穷小($\frac{0}{0}$) 的极限 , 用等价无穷小解极限有局限性, 分子分母经等价无穷小转化后不同阶, 导数精确度不够
洛必达法则的目标: 解 $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ 类极限新方法
洛必达法则:
若:
1. $f(x)$、$g(x)$ 在点 $x=a$ 的去心邻域内可导且 $g^\prime(x)\neq 0$
2. $\frac{0}{0}$ 型: $\lim\limits_{x\to a}f(x)=0$, $\lim\limits_{x\to a}g(x)=0$
  $\frac{\infty}{\infty}$ 型: $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to a}g(x)=\infty$
3. $\lim\limits_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}=A$
则 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=A$
洛必达法则证明: (利用柯西中值定理)
- $\lim\limits_{x\to a}f(x)=0$, $\lim\limits_{x\to a}g(x)=0$
  $\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\enspace(\xi\in(a,x))$
  $\therefore\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}=\lim\limits_{\xi\to a}\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}=A$
  ($x\to a$, $\xi$ 介于 $a$ 与 $x$ 之间 $\rArr\xi\to a$)
- $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to a}g(x)=\infty$
  
  $$ \begin{array}{rl} \frac{f(x)}{g(x)} & =\frac{f(x)-f(a)}{g(x)}+\frac{f(a)}{g(x)} \\ & =\frac{g(x)-g(a)}{g(x)}\cdot\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}+\frac{f(a)}{g(x)} \\ & =[1-\frac{g(a)}{g(x)}]\cdot\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}+\frac{f(a)}{g(x)}\enspace(\xi\in(a,x)) \end{array} $$
  
  $\hArr\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}[1-\frac{g(a)}{g(x)}]\cdot\lim\limits_{x\to a}\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}+\lim\limits_{x\to a}\frac{f(a)}{g(x)}$
  $\because f(a)$、$g(a)$ 是定值 (因此远远小于 $\infty$)
  $\therefore\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}=A$
注意
1. 若 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$ 不存在, 只表明洛必达法则不能使用, 不代表极限 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ 不存在
2. $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^a}=0\enspace(a>0)$
  $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^a}{b^x}=0\enspace(a>0,b>1)$

泰勒公式

泰勒公式
设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 邻域内 $n+1$ 阶可导
则 $f(x)=P_n(x)+R_n(x)$
其中:
$P_n(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
$R_n(x)=o((x-x_0)^n)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\enspace$ ($\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间)
如果 $x_0=0$, 这个式子被称为麦克劳林公式

泰勒公式证明:
设 $\footnotesize f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\dots+a_n(x-x_0)^n$
要使这个式子派用场, 得找到 $a_0,a_1,\dots$ 这些系数的值, 怎么做呢?
要得到 $a_0$, 可以使 $x=x_0$, 这样其他项就消除了
那其他的 $a_1,a_2,a_3$ 呢? 我们可以不断对该式求它的一阶, 二阶, 三阶, … 导数:
$f^\prime(x)=a_1+2a_2(x-x_0)+3a_3(x-x_0)^2+\dots+na_n(x-x_0)^{n-1}$
$f^{\prime\prime}(x)=2a_2+3\cdot 2a_3(x-x_0)^2+\dots+n(n-1)(x-x_0)^{n-2}$
$\dots$
发现规律了吗, 将 $x=x_0$ 带入, 可以轻松得到对应项的系数值:
$a_1=\frac{f^\prime(x_0)}{1}$, $a_2=\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{1\cdot 2}$, $a_3=\frac{f^{\prime\prime\prime}(x_0)}{1\cdot 2\cdot 3}\rArr a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$
然后式子就能写成 $\footnotesize f(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

(常见泰勒展开式见章节: 无穷级数->函数展开成幂级数)

导数与函数单调性和曲线凹凸性的关系

导数与函数单调性
导数可以判别函数的单调性:
$f(x)\enspace(x\in[a,b])$ 在 $(a,b)$ 内可导
1. 若 $f^\prime(x)>0\enspace(a<x<b)$, 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递增
2. 若 $f^\prime(x)<0\enspace(a<x<b)$, 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递减
导数与曲线凹凸性
1. 曲线凹凸性的定义:
  1. 若 $\forall x_1,x_2\in D$ 且 $x_1\neq x_2$, 有
    $f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
    则 $f(x)$ 在 $D$ 内为凹函数
  2. 若 $\forall x_1,x_2\in D$ 且 $x_1\neq x_2$, 有
    $f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
    则 $f(x)$ 在 $D$ 内为凸函数
2. 二阶导数判别法:
  $f(x)\enspace(x\in[a,b])$ 在 $(a,b)$ 内二阶可导
  1. 若 $f^{\prime\prime}(x)>0\enspace(a<x<b)$, 则 $y=f(x)$ 图像在 $[a,b]$ 上是凹的
  2. 若 $f^{\prime\prime}(x)<0\enspace(a<x<b)$, 则 $y=f(x)$ 图像在 $[a,b]$ 上是凸的

极值与最值

一个函数中, 极大值、极小值可以有很多, 但最大值、最小值只能有一个

极大值与极小值
1. 定义:
  设 $y=f(x)\enspace(x,x_0\in D)$
  若 $\exist\delta>0$, 当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时
  1. 有 $f(x)>f(x_0)$, 称 $x_0$ 为极小点, $f(x_0)$ 为极小值
  2. 有 $f(x)<f(x_0)$, 称 $x_0$ 为极大点, $f(x_0)$ 为极大值
2. 求极值的步骤:
  1. 法一(利用目标点附近导数)
    1. 若同时满足 $\begin{array}{cc} x<x_0 & f^\prime(x)<0 \\ x>x_0 & f^\prime(x)>0 \end{array}$ 则 $x=x_0$ 为极小点
    2. 若同时满足 $\begin{array}{cc} x<x_0 & f^\prime(x)>0 \\ x>x_0 & f^\prime(x)<0 \end{array}$ 则 $x=x_0$ 为极大点
  2. 法二(利用二阶导数)
    设 $f^\prime(x_0)=0$, $f^{\prime\prime}(x_0)\begin{cases} >0 & x_0 \text{为极小点} \\ < 0 & x_0 \text{为极大点} \end{cases}$
最大值与最小值
设 $f(x)\in C[a,b]$
则极小值和极大值可在 $f(a)$、$f(b)$ 和其他使 $f^\prime(x)=0\text{或不存在}$ 的点之中找到

函数图像描绘

渐近线
设函数 $f(x)$
1. 水平渐近线:
  
  若 $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A$
  称 $f(x)$ 有水平渐近线 $y=A$
2. 垂直渐近线:
  
  若 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty$
  称 $f(x)$ 有垂直渐近线 $x=a$
3. 斜渐近线:
  若
  1. $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=k \quad$ (可以理解为斜率)
  2. $\lim\limits_{x\to\infty}[f(x)-kx]=b$
  称 $f(x)$ 有斜渐近线 $y=kx+b$
作图
(根据一阶和二阶导数的值描绘函数曲线)
设函数 $f(x)\enspace(x\in D)$
在定义域内:
找出 $f^\prime(x)=0\text{或不存在}$ 的所有点
找出 $f^{\prime\prime}(x)=0\text{或不存在}$ 的所有点
画渐近线
作表

$x$ () ? () ? $\dots$

$f^\prime(x)$ $+$ $-$

$f^{\prime\prime}(x)$ $+$ $+$

$f(x)$ $\nearrow$ 极大 $\searrow$
在坐标系上找到关键点, 描图

\(x\)	()	?	()
\(f^\prime(x)\)	\(+\)		\(-\)
\(f^{\prime\prime}(x)\)	\(+\)		\(+\)
\(f(x)\)	\(\nearrow\)	极大	\(\searrow\)

弧微分与曲率

弧微分
前面的微分能让我们求 $\Delta y$ 的近似值, 也就是从 $x$ 到 $x_0$ 后 $y$ 轴的偏移量近似值
但如果我们想要求从 $x$ 到 $x_0$ 间这段函数曲线长度的近似值(即弧微分)呢?

两种弧微分形式:
1. 普通函数
  $L:f(x)$
  $\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2(\mathrm{d}x)^2}=\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2}\mathrm{d}x=\sqrt{1+[f^\prime(x)]^2}\mathrm{d}x$
2. 参数方程
  $L:\begin{cases} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases}$
  $\footnotesize\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2}=\sqrt{[\varphi^\prime(t)]^2(\mathrm{d}t)^2+[\psi^\prime(t)]^2(\mathrm{d}t)^2}=\sqrt{[\varphi^\prime(t)]^2+[\psi^\prime(t)]^2}\mathrm{d}t$
曲率与曲率半径
1. 曲率大小的因素:
  1. 角度一定, 弯曲度与两点间的弧长成反比
    
    $\Delta\alpha$ 一定, $|\stackrel\frown{M_1N_1}|<|\stackrel\frown{M_2N_2}|$
  2. 弧长一定, 弯曲度与切线夹角成正比
    
    $|\stackrel\frown{MN}|$ 一定, $\Delta\alpha_1>\Delta\alpha_2$
曲率定义:

设 $L:f(x)$, $|\stackrel\frown{MM^\prime}|=\Delta s$
- 平均曲率 $\bar{k}=\dfrac{|\Delta\alpha|}{|\Delta s|}$
- 某点曲率 $k=\lim\limits_{\Delta x\to 0}|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}|=|\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s}|=\frac{|f^{\prime\prime}(x)|}{(1+[f^\prime(x)]^2)^\frac{3}{2}}$
  
  证明:
  
  可知 $f^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\tan\alpha$, 两边对 $x$ 求导得 $f^{\prime\prime}(x)=\sec^2\alpha\cdot\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}x}$
  $\because\sec^2\alpha=1+\tan^2\alpha=1+[f^\prime(x)]^2$
  $\therefore\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}x}=\frac{f^{\prime\prime}(x)}{1+[f^\prime(x)]^2}\rArr\mathrm{d}\alpha=\frac{f^{\prime\prime}(x)}{1+[f^\prime(x)]^2}\mathrm{d}x$
- 曲率半径: $R=\frac{1}{k}$

不定积分

不定积分的概念与性质

原函数:
设 $f(x)$, $F(x)\enspace(x\in I)$
若 $\forall x\in I$, 有 $F^\prime(x)=f(x)$, 称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的其中一个原函数
注意:
1. 一个函数若有原函数, 则一定有无数个原函数
  设 $F^\prime(x)=f(x)$
  则 $F(x)+C$ 为 $f(x)$ 的一切原函数
2. 一个函数的的任意两个原函数之差 $\in C$
不定积分
$F(x)+C$ 为 $f(x)$ 的所有原函数
则称 $F(x)+C$ 就是 $f(x)$ 的不定积分, 记作 $\int f(x)\mathrm{d}x$
不定积分公式
1. $\int k\mathrm{d}x=kx+C$
2. $\int x^a\mathrm{d}x=\begin{cases} \frac{1}{a+1}x^{a+1}+C & (a\neq -1) \\ \ln|x|+C & (a=-1) \end{cases}$
3. $\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C$
4. $\int\sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C$
  $\int\cos x\mathrm{d}x=\sin x+C$
  $\int\tan x\mathrm{d}x=-\ln|\cos x|+C$
  $\int\cot x\mathrm{d}x=\ln|\sin x|+C$
  $\int\csc x\mathrm{d}x=\ln|\csc x-\cot x|+C=\ln|\tan\frac{x}{2}|+C$
  $\int\sec x\mathrm{d}x=\ln|\sec x+\tan x|+C$
  $\int\sec^2x\mathrm{d}x=\tan x+C$
  $\int\csc^2x\mathrm{d}x=-\cot x+C$
  $\int\sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C$
  $\int\csc x\cot x\mathrm{d}x=-\csc x+C$
5. $\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin x+C$
  $\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin\frac{x}{a}+C$
  $\int\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\arctan x+C$
  $\int\frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$
  $\int\frac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$
  $\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm{d}x=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$
  $\int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm{d}x=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$
  $\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+C$
证明:
1. $\footnotesize\int x^a\mathrm{d}x\enspace(a=-1)\rArr\begin{cases} \int\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln(-x)+C & (x<0) \\ \int\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln(x)+C & (x>0) \end{cases}\rArr\ln|x|+C$
2. $\int\tan x\mathrm{d}x=\int\frac{\sin x}{\cos x}\mathrm{d}x=-\int\frac{1}{\cos x}\mathrm{d}(\cos x)=-\ln|\cos x|+C$
3. $\int\cot x\mathrm{d}x=\int\frac{\cos x}{\sin x}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\sin x}\mathrm{d}(\sin x)=\ln|\sin x|+C$
4. 这里只证明 $\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm{d}x$
  
  令 $x=a\tan t$ (第二类换元积分法)
  
  $$ \begin{array}{rl} \text{原式}=\int\frac{a\sec^2t}{a\sec t}\mathrm{d}t & =\int\sec t\mathrm{d}t \\ & =\ln|\sec t+\tan t|+C \\ & =\ln|\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}+\frac{x}{a}|+C \\ & =\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|\cdot\frac{1}{a}+C \\ & =\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+\ln\frac{1}{a}+C \\ & =\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C\enspace(\ln\frac{1}{a}\text{并入}C) \\ & =\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C \\ & =\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C \end{array} $$
不定积分性质
1. $\int[f(x)\pm g(x)]\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x+\int g(x)\mathrm{d}x$
2. $\int af(x)\mathrm{d}x=a\int f(x)\mathrm{d}x$

不定积分的换元积分法与分部积分法

换元积分法
1. 第一类换元积分法
  $f(u)$ 存在原函数 $F(u)$ 且 $\varphi(x)$ 可导, 则
  $\footnotesize\int f[\varphi(x)]\underbrace{\varphi^\prime(x)\mathrm{d}x}_{f^\prime(x)\mathrm{d}x=\mathrm{d}f(x)}=\int\underbrace{f[\varphi(x)]\mathrm{d}\varphi(x)}_{\text{设}\varphi(x)=t}=\int f(t)\mathrm{d}t=F(t)+C=F[\varphi(x)]+C$
2. 第二类换元积分法
  $x=\psi(t)$ 可导且 $\psi^\prime(t)\neq 0$
  $\footnotesize\int f(x)\mathrm{d}x=\int f[\psi(t)]\mathrm{d}\psi(t)=\int f[\psi(t)]\psi^\prime(t)\mathrm{d}t=\int g(t)\mathrm{d}t=G(t)+C=G[\psi^{-1}(x)]+C$
  例: $\int\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}\mathrm{d}x$
  解:
  令 $x=t^6$
  $$ \begin{array}{rl} \text{原式} & =6\int\frac{t^5}{t^3+t^2}\mathrm{d}t \\ & =6\int\frac{(t^3+1)-1}{t+1}\mathrm{d}t \\ & =6\int\frac{t^3+t^2+1-t^2}{t+1}-\frac{1}{t+1}\mathrm{d}t \\ & =6\int\frac{t^2(t+1)+(1+t)(1-t)}{t+1}-\frac{1}{t+1}\mathrm{d}t \\ & =6\int(t^2-t+1)-\frac{1}{t+1}\mathrm{d}t \\ & =6[\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{2}t^2+t-\ln|t+1|]+C \\ & =2t^3-3t^2+6t-6\ln|t+1|+C \\ & =2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln|\sqrt[6]{x}+1|+C \end{array} $$
分部积分法
先用换元积分法将积分式变成 $\int u\mathrm{d}v$ 的形式
然后用分部积分公式: $\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$

证明:
$uv=\int(uv)^\prime\mathrm{d}x=\int u^\prime v\mathrm{d}x+\int uv^\prime\mathrm{d}x=\int v\mathrm{d}u+\int u\mathrm{d}v$

例: $\int x^2\ln x\mathrm{d}x$
解:

$$ \begin{aligned} \int x^2\ln x\mathrm{d}x & =\int\ln x\mathrm{d}(\frac{1}{3}x^3) \\ & =\frac{1}{3}x^3\ln x-\int\frac{1}{3}x^3\mathrm{d}(\ln x) \\ & =\frac{1}{3}x^3\ln x-\frac{1}{3}\int x^2\mathrm{d}x \\ & =\frac{1}{3}x^3\ln x-\frac{1}{9}x^3+C \end{aligned} $$

定积分

定积分的概念与性质

定积分定义
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界, $x_1,x_2,\dots,x_n$ 为 $[a,b]$ 间的分段点
1. $a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b$, $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\enspace(1\leqslant i\leqslant n)$
2. $\exist s_i\in[x_{i-1},x_i]$, $\displaystyle\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$
3. $\lambda=\operatorname{max}\{\Delta x_1,\Delta x_2,\dots,\Delta x_n\}$
若 $\displaystyle\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$ 存在, 称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积
称该极限为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分, 记作 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$
即 $\lim\limits_{\lambda\to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^n\textstyle f(\xi_1)\Delta x_i=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$

注:
1. $L:y=f(x)\geqslant 0\enspace(x\in[a,b])$
  则 $A=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$
  例: 物理中知道速度函数和时间求位移($v$ 为速度, $t$ 为时间)
  设 $v=V(t)\enspace(t\in[a,b])$
  则 $S=\int_a^b V(t)\mathrm{d}t$
2. $\displaystyle\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_1)\Delta x_i$ 与 $[a,b]$ 分法及 $\xi_i$ 取法无关
3. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界不一定可积
  如分段函数 $f(x)=\begin{cases} 1 & x\in Q \\ 0 & x\in R-Q \end{cases}$
4. 若 $f(x)\in C[a,b]$, 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积
  若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上只有有限个第一类间断点, 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积
定积分的一般性质
1. $\int_a^a f(x)\mathrm{d}x=0$
  $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int_b^a f(x)\mathrm{d}x$
2. $\int_a^b[f(x)\pm g(x)]\mathrm{d}x=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\pm\int_a^b g(x)\mathrm{d}x$
3. $\int_a^b kf(x)\mathrm{d}x=k\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$
4. $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_a^c f(x)\mathrm{d}x+\int_c^b f(x)\mathrm{d}x\enspace(a<b)$
  (即使 $c<a<b$ 也成立, 因为 $\int_a^c$ 是负的, 正好减去了 $\int_c^b$ 多出来的, $a<b<c$ 同理)
5. $\int_a^b 1\mathrm{d}x=b-a$
6. 定积分间的比较
  1. $f(x)\geqslant 0\enspace(a\leqslant x\leqslant b)$, 则 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\geqslant 0$
  2. $f(x)\geqslant g(x)\enspace(a\leqslant x\leqslant b)$, 则 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\geqslant\int_a^b g(x)\mathrm{d}x$
  3. 若 $f(x)$、$|f(x)|$ 在 $[a,b]$ 上可积, 则 $|\int_a^b f(x)\mathrm{d}x|\leqslant\int_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$
7. 积分中值定理
  
  设 $f(x)\in C[a,b]$, 则 $\exist\xi\in[a,b]$, 使 $\underbrace{\int_a^b f(x)\mathrm{d}x}_{\text{曲边梯形面积}}=\underbrace{f(\xi)(b-a)}_{\text{矩形面积}}$
  
  证明:
  $\because f(x)\in C[a,b]$
  $\therefore\exist m,M\in[a,b]$, 使 $m(b-a)\leqslant\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\leqslant M(b-a)$
  $\rArr m\leqslant\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\leqslant M$
  $\therefore\exist\xi\in[a,b]$, 使 $f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\rArr\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=(b-a)f(\xi)$ (介值定理)

积分基本定理

积分上限函数及其与目标函数的关系:
设 $f(x)\in C[a,b]$, 令 $\varPhi(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t$, 则 $\varPhi^\prime(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\mathrm{d}t=f(x)$
复合函数推论: $\varPhi[\varphi(x)]^\prime=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^{\varphi(x)}f(t)\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varphi(x)}\int_a^{\varphi(x)}f(t)\mathrm{d}t\cdot\frac{\varphi(x)}{x}=f[\varphi(x)]\varphi^\prime(x)$

证明:
$\footnotesize\Delta\varPhi=\varPhi(x+\Delta x)-\varPhi(x)=\int_a^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t-\int_a^x f(t)\mathrm{d}t=\int_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t$
$\because f(x)\in C[a,b]\rArr f(x)\in C[x,x+\Delta x]$
$\therefore\exist\xi\in[x,x+\Delta x]$, 使(积分中值定理)

$$ \begin{array}{rl} \footnotesize f(\xi)\Delta x=\int_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t=\Delta\varPhi & \rArr\frac{\Delta\varPhi}{\Delta x}=f(\xi) \\ & \rArr\footnotesize\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta\varPhi}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(\xi)=\lim\limits_{\xi\to x}f(\xi)=f(x) \\ & \rArr\varPhi^\prime(x)=f(x) \end{array} $$
定积分与不定积分的比较:
$\int f(x)\neq\int f(t)\enspace(x$ 与 $t$ 可能是不同的函数, 他们的值域不同, 导致积结果不同)
$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\enspace$ ($x$ 与 $t$ 可能是不同的函数, 但积分范围被限制在 $[a,b]$, 即 $x,t\in[a,b]$, 所以相等)
因此: 定积分由上下限、函数关系确定, 与积分变量无关
即 $\varPhi(x)=\int_a^x f(x)\mathrm{d}x=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t\enspace$ (注意自变量的 $x$ 与积分上限的 $x$ 不同)
牛顿莱布尼茨公式
$f(x)\in C[a,b]$, $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_a^b$

证明:
$\because F^\prime(x)=f(x)$, $\varPhi^\prime(x)=f(x)$
($F(x)$ 与 $\varPhi(x)$ 皆为 $f(x)$ 的原函数)
$\therefore \begin{cases} F(a)-\varPhi(a)=C_0 \\ F(b)-\varPhi(b)=C_0 \end{cases}\rArr F(a)-\varPhi(a)=F(b)-\varPhi(b)$
$\because\varPhi(a)=\int_a^a f(t)\mathrm{d}t=0$
$\therefore F(a)=F(b)-\varPhi(b)\hArr\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\varPhi(b)=F(b)-F(a)$
积分中值定理的推广
$f(x)\in C[a,b]$, 则 $\exist\xi\in(a,b)$ (这里变成了闭区间), 使 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a)$

证明: 设 $F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t$, $F^\prime(x)=f(x)$
$\exist\xi\in(a,b)$ 使 $F^\prime(\xi)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}$ (拉格朗日中值定理)
$\footnotesize\therefore\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)=F^\prime(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)\enspace(\xi\in(a,b))$

定积分的换元积分法与分部积分法

换元积分法
若 $f(x)\in C[a,b]$, $x=\varphi(t)$ 满足:
1. $\varphi(t)$ 为单调函数且 $\varphi(\alpha)=a$, $\varphi(\beta)=b$
2. $x=\varphi(t)$ 连续可导
则 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi^\prime(t)\mathrm{d}t$

证明:
设 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的原函数

$$ \begin{array}{rl} \int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi^\prime(t)\mathrm{d}t & =\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\mathrm{d}\varphi(t) \\ & =F[\varphi(\beta)]-F[\varphi(\alpha)] \\ & =F(b)-F(a) \\ & =\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \end{array} $$
分部积分法
$\int_a^b u\mathrm{d}v=(uv)|_a^b-\int_a^b v\mathrm{d}u$

证明: $\left.uv\right|_a^b=\int_a^b(uv)^\prime\mathrm{d}x=\int_a^b u^\prime v\mathrm{d}x+\int_a^b uv^\prime\mathrm{d}x=\int_a^b v\mathrm{d}u+\int_a^b u\mathrm{d}v$

例: 导出 $I_n=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n x\mathrm{d}x$ ($n$ 为非负整数)的递推公式
解: 易见 $I_0=\int_0^\frac{\pi}{2}1\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}$, $I_1=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin x\mathrm{d}x=1$. 当 $n\geqslant 2$ 时

$$ \begin{array}{rl} I_n=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n x\mathrm{d}x & =\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-1}x\cdot\sin x\mathrm{d}x \\ & =\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-1}x[-(\cos x)^\prime]\mathrm{d}x \\ & =-\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-1}x\mathrm{d}\cos x \\ & =\left.-(\sin^{n-1}x\cdot\cos x)\right|_0^\frac{\pi}{2}+\int_0^\frac{\pi}{2}\cos x\mathrm{d}\sin^{n-1}x \\ & =\int_0^\frac{\pi}{2}\cos x(\sin^{n-1}x)^\prime\mathrm{d}x \\ & =\int_0^\frac{\pi}{2}\cos x\cdot\sin^{n-1\prime}x(\sin x)^\prime\mathrm{d}x \\ & =(n-1)\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-2}x\cos^2 x\mathrm{d}x \\ & =(n-1)\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-2}x(1-\sin^2 x)\mathrm{d}x \\ & =(n-1)[\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-2}\mathrm{d}x-\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n x\mathrm{d}x] \\ & =(n-1)(I_{n-2}-I_n) \end{array} $$

从而得到递推公式 $I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$

反常积分

正常积分标准:
1. 区间有限
2. $f(x)$ 在区间上连续或有限个第一类间断点
积分区间无限
1. $f(x)\in C[a,+\infty)$
  有 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{b\to+\infty}[F(b)-F(a)]$
  1. 若 $\lim\limits_{b\to+\infty}[F(b)-F(a)]$ 存在, 称 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛
  2. 若 $\lim\limits_{b\to+\infty}[F(b)-F(a)]$ 不存在, 称 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 发散
2. $f(x)\in C(-\infty,a]$
  有 $\lim\limits_{b\to-\infty}[F(a)-F(b)]=\int_{-\infty}^a f(x)\mathrm{d}x$
  1. 若 $\lim\limits_{b\to-\infty}[F(a)-F(b)]$ 存在, 称 $\int_{-\infty}^a f(x)\mathrm{d}x$ 收敛
  2. 若 $\lim\limits_{b\to-\infty}[F(a)-F(b)]$ 不存在, 称 $\int_{-\infty}^a f(x)\mathrm{d}x$ 发散
3. $f(x)\in C(-\infty,+\infty)$
  若 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛 $\hArr\int_{-\infty}^{a}f(x)\mathrm{d}x$ 与 $\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛
  且 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^a f(x)\mathrm{d}x+\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$
4. Gamma 函数 $\Gamma$
  定义: $\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}\cdot e^{-x}\mathrm{d}x$
  特性:
  1. $\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$
  2. $\Gamma(n+1)=n!\enspace(n\in Z)$
  3. $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$
无界函数反常积分
1. 左无界: $f(x)\in c(a,b]$ 且 $f(a+0)=\infty\enspace$ ($a$ 称作瑕点)
  $\forall\varepsilon>0$, $\lim\limits_{\varepsilon\to 0^+}[F(b)-F(a+\varepsilon)]=\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\mathrm{d}x$
  1. 若 $\lim\limits_{\epsilon\to 0^+}[F(b)-F(a+\varepsilon)]$ 存在, 称 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 收敛
  2. 若 $\lim\limits_{\varepsilon\to 0^+}[F(b)-F(a+\varepsilon)]$ 不存在, 称 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 发散
2. 右无界: $f(x)\in c[a,b)$ 且 $f(b-0)=\infty$
  $\forall\varepsilon>0$, $F(b-\varepsilon)-F(a)=\int_a^{b-\varepsilon}f(x)\mathrm{d}x$
  1. 若 $\lim\limits_{\epsilon\to 0^+}[F(b-\varepsilon)-F(a)]$ 存在, 称 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 收敛
  2. 若 $\lim\limits_{\epsilon\to 0^+}[F(b-\varepsilon)-F(a)]$ 不存在, 称 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 发散
3. 中无界: $f(x)\in c[a,c)\cup(c,b]$ 且 $\lim\limits_{x\to c}f(x)=\infty$
  若 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 收敛 $\hArr\int_a^c f(x)\mathrm{d}x$ 与 $\int_c^b f(x)\mathrm{d}x$ 收敛
  且 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_a^c f(x)\mathrm{d}x+\int_c^b f(x)\mathrm{d}x$

定积分应用

元素法
经典积分思想: 分成无数细小的段然后加起来
元素法思想:
1. 取 $[x,x+\mathrm{d}x]\subset[a,b]$
2. $\mathrm{d}A=f(x)\mathrm{d}x$
3. $A=\int_a^b\mathrm{d}A=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$
例: 求 $L:x^2+y^2=R^2$ 围成的面积

解:
1. 取 $[x,x+\mathrm{d}x]\subset[0,R]$
2. $\mathrm{d}A_1=\sqrt{R^2-x^2}\mathrm{d}x$
3. $A_1=\int_0^R\sqrt{R^2-x^2}\mathrm{d}x$
4. 设 $x=R\sin t$, 则有
  $\int_0^\frac{\pi}{2}\sqrt{R^2-R^2\sin^2t}(R\cos t)\mathrm{d}t$
  $=\int_0^\frac{\pi}{2}R^2\sqrt{1-\sin^2t}\cos t\mathrm{d}t$
  $=\int_0^\frac{\pi}{2}R^2\cos^2t\mathrm{d}t$
  $=R^2\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^2t\mathrm{d}t$
  $=R^2\times\frac{1}{2}I_0=\frac{\pi}{4}R^2$
  $\therefore A=4A_1=\pi R^2$
几何应用(元素法的拓展)
1. 面积
  1. 贴 $x$ 轴曲面
    1. 取 $[x,x+\mathrm{d}x]\subset[a,b]$
    2. $\mathrm{d}A=f(x)\mathrm{d}x$
    3. $A=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$
  2. 浮空曲边
    1. 取 $[x,x+\mathrm{d}x]\subset[a,b]$
    2. $\mathrm{d}A=[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$
    3. $A=\int_a^b[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$
  3. 曲边扇形面积(以下内容为弧度制)
    $L:R=r(\theta)\enspace(\theta\in[\alpha,\beta])$
    1. 取 $[\theta,\theta+\mathrm{d}\theta]\subset[\alpha,\beta]$
    2. $\mathrm{d}A=\frac{1}{2}r^2(\theta)\mathrm{d}\theta$ (曲边扇形面积公式)
    3. $A=\int_\alpha^\beta\mathrm{d}A=\int_\alpha^\beta\frac{1}{2}r^2(\theta)\mathrm{d}\theta$
2. 体积
  1. 旋转体的体积
    1. $V_x$ (绕 $x$ 轴旋转)
      1. 取 $[x,x+\mathrm{d}x]\subset[a,b]$
      2. $\mathrm{d}V_x=\pi f^2(x)\mathrm{d}x$
      3. $V_x=\pi\int_a^b f^2(x)\mathrm{d}x$
    2. $V_y$ (绕 $y$ 轴旋转)
      1. 取 $[x,x+\mathrm{d}x]\subset[a,b]$
      2. $\mathrm{d}V_y=2\pi|x|\cdot|f(x)|\cdot\mathrm{d}x$
      3. $V_y=2\pi\int_a^b |x|\cdot|f(x)|\mathrm{d}x$
  2. 截口面积已知求几何体体积
    有关于底面积的函数 $A(x)$
    1. 取 $[x,x+\mathrm{d}x]\subset[a,b]$
    2. $\mathrm{d}V=A(x)\mathrm{d}x$
    3. $V=\int_a^b A(x)\mathrm{d}x$
3. 弧长
  1. $L:y=f(x)\enspace(a\leqslant x\leqslant b)$
    1. 取 $[x,x+\mathrm{d}x]\subset[a,b]$
    2. $\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2}=\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2}\mathrm{d}x=\sqrt{1+[f^\prime(x)]^2}\mathrm{d}x$
    3. $l=\int_a^b\mathrm{d}s\mathrm{d}x=\int_a^b\sqrt{1+[f^\prime(x)]^2}\mathrm{d}x$
  2. $L:\begin{cases} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases}\enspace(\alpha\leqslant t\leqslant\beta)$
    1. 取 $[t,t+\mathrm{d}t]\subset[\alpha,\beta]$
    2. $\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2}=\sqrt{[\varphi^\prime(t)]^2+[\psi^\prime(t)]^2}\mathrm{d}t$
    3. $l=\int_\alpha^\beta\mathrm{d}s\mathrm{d}t=\int_\alpha^\beta\sqrt{[\varphi^\prime(x)]^2+[\psi^\prime(x)]^2}\mathrm{d}t$

微分方程

解微分方程的目的即根据已知微分条件求目标函数

微分方程的基本概念

微分方程: 含有导数或微分的方程
常微分方程: 只含一个自变量, 一个函数的微分方程, 如 $f^\prime(x)+7f(x)=0$
这里探讨的范围仅限于常微分方程
微分方程的阶: 在微分方程中, 导数或微分的最高阶数
微分方程的解:
已知 $y$ 关于 $x$ 的微分方程 $F(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y^\prime,y,x)=0$
若代入函数 $y=\varphi(x)$ 能够满足 $F(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y^\prime,y,x)=0$
称 $y=\varphi(x)$ 为该微分方程的解
1. 通解: 设 $n$ 阶微分方程 $F(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y^\prime,y,x)=0$, 若该方程的解含 $n$ 个相互独立的任意常数, 称该解为通解
  如 $y=C_1e^x+C_2e^{2x}$ 为 $y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y=0$ 的通解
2. 特解: 不含任意常数的解

可分离变量微分方程

定义: 形如 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi_1(x)\varphi_2(y)$
解法
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi_1(x)\varphi_2(y)\rArr\frac{\mathrm{d}y}{\varphi_2(y)}=\varphi_1(x)\mathrm{d}x$
两边积分:
$\int\frac{\mathrm{d}y}{\varphi_2(y)}=\int\varphi_1(x)\mathrm{d}x+C$ (注意微分方程中自变量一端要加 $C$)

齐次微分方程

定义: 形如 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi(\frac{y}{x})$
解法
换元法, 设 $u=\frac{y}{x}$, 则 $y=ux\rArr y^\prime=u^\prime x+ux^\prime\rArr\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u$
将 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u$ 和 $u=\frac{y}{x}$ 代入方程两边得到 $x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u=\varphi(u)$
然后就可以分离变量, 最后两边积分:
$\frac{\mathrm{d}x}{x}=\frac{\mathrm{d}u}{\varphi(u)-u}\rArr\int\frac{\mathrm{d}x}{x}=\int\frac{\mathrm{d}u}{\varphi(u)-u}+C$

一阶线性微分方程

一阶齐次线性方程
1. 定义: 形如 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=0$
2. 解法及通解公式
  - 情况1 $y=0$ 为方程的解
  - 情况2 $y\neq 0$ 时, 先分离变量, 然后两边积分, 再套用积分公式求解:
    
    $$ \begin{aligned} \frac{1}{y}\mathrm{d}y=-P(x)\mathrm{d}x & \rArr\int\frac{1}{y}\mathrm{d}y=\int-P(x)\mathrm{d}x \\ & \rArr\ln|y|=-\int P(x)\mathrm{d}x+C_0 \\ & \rArr|y|=e^{-\int P(x)\mathrm{d}x+C_0} \\ & \rArr y=\pm e^{C_0}\cdot e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}=Ce^{-\int P(x)\mathrm{d}x} \end{aligned} $$
    
    通解 $y=Ce^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$
一阶非齐线性微分方程
1. 定义: 形如 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$
2. 解法
  通过常数易变法, 将上面齐次方程通解中的常数项换成关于 $x$ 的函数 $C=u(x)$, 得到 ➀ $y=u(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$
  然后对 $y$ 求导: (这里注意 $e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$ 是复合函数)
  ➁ $y^\prime=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u^\prime(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}-u(x)P(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$
  将 ➀、➁ 代入一阶非齐线性微分方程:
  $u^\prime(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}-u(x)P(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}+P(x)u(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}=Q(x)$
  $\rArr u^\prime(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}=Q(x)$
  $\rArr u^\prime(x)=Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}$
  $\rArr\int u^\prime(x)\mathrm{d}x=\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C$
  $\rArr u(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C$
  求得的 $u(x)$ 再次带入通解式得 $y=[\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C]e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$

可降阶的高阶微分方程

$y^{(n)}=f(x)\enspace(n\geqslant2)$
解法: 直接积分
$y^{(n-1)}=\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$
$y^{(n-2)}=\int(\int(F(x)+C)\mathrm{d}x$
$\dots$

例: $y^{\prime\prime}=x^3+e^{2x}$
解:
$y^\prime=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}e^{2x}+C_1$
$y=\frac{1}{20}x^5+\frac{1}{4}e^{2x}+C_1x+C_2$
(缺失 $y$) $f(x,y^\prime,y^{\prime\prime})=0$
解法:
令 $y^\prime=p$, $y^{\prime\prime}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}$ 代入得
$f(x,p,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x})=0\rArr p=\varphi(x,C_1)$, 即 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi(x,C_1)$
$\therefore y=\int\varphi(x, C_1)\mathrm{d}x+C_2$

例: 求 $xy^{\prime\prime}+2y^\prime=0$ 通解
解: 令 $y^\prime=p$, $y^{\prime\prime}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}$, 代入得
$x\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}+2p=0\rArr\frac{\mathrm{d}p}{p}=-\frac{2\mathrm{d}x}{x}$
$\rArr\int\frac{1}{p}\mathrm{d}p=-2\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x+C_0$
$\rArr\ln|p|=-2\ln|x|+C_0$
$\rArr|p|=e^{-2\ln|x|+C_0}=\frac{e^{C_0}}{x^2}$
$\rArr p=\pm\frac{e^{C_0}}{x^2}=\frac{C_1}{x^2}$, 即 $y^\prime=\frac{C_1}{x^2}$
$\therefore y=-\frac{C_1}{x}+C_2$
(缺失 $x$) $f(y,y^\prime,y^{\prime\prime})=0$
解法:
令 $y^\prime=p$, $y^{\prime\prime}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}\rArr y^{\prime\prime}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot p$, 代入得

$$ \begin{array}{rl} f(y,p,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot p)=0 & \rArr p=\varphi(y,C_1) \\ & \hArr\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi(y,C_1) \\ & \hArr\frac{\mathrm{d}y}{\varphi(y,C_1)}=\mathrm{d}x \\ & \rArr\int\frac{\mathrm{d}y}{\varphi(y,C_1)}=\int\mathrm{d}x+C_2 \end{array} $$

例: 求 $yy^{\prime\prime}-y^{\prime 2}=0$ 满足初始条件 $y(0)=1$, $y^\prime(0)=1$ 的特解
解:
令 $y^\prime=p$, $y^{\prime\prime}=p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$, 代入得 $yp\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}-p^2=0$

$$ \begin{array}{ll} \because p\neq 0 & \\ \therefore y\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}-p=0 & \hArr\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}-\frac{1}{y}p=0 \\ & \rArr p=C_0e^{-\int-\frac{1}{y}p\mathrm{d}y} (\text{\footnotesize一阶齐次线性微分方程通解})\\ & \hArr p=C_0e^{\ln|y|} \\ & \rArr p=C_1y \\ & \hArr\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=C_1y \\ & \hArr\frac{\mathrm{d}y}{C_1y}=\mathrm{d}x \\ & \rArr\int\frac{\mathrm{d}y}{C_1y}=\int\mathrm{d}x+C_2 \\ & \hArr\ln|C_1y|=x+C_2 \\ & \rArr y=\frac{C_3e^x}{C_1} \\ & \rArr y=C_4e^x \end{array} $$

$\because y(0)=1,y^\prime(0)=1$
$\therefore C_4=1$, 特解为 $y=e^x$

高阶线性微分方程

基本概念
1. 二阶齐次线性微分方程: $y^{\prime\prime}+a(x)y^\prime+b(x)y=0$
  二阶非齐线性微分方程: $y^{\prime\prime}+a(x)y^\prime+b(x)y=c(x)$
2. $n$ 阶齐次线性微分方程: $y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}y^\prime+a_n(x)y=0$
  $n$ 阶非齐线性微分方程: $\footnotesize y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}y^\prime+a_n(x)y=f(x)$
3. 线性相关和线性无关:
  $\varphi_1(x)$, $\varphi_2(x)$ 为两个函数
  若 $\frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}\equiv k\in R$, 称 $\varphi_1(x)$, $\varphi_2(x)$ 线性相关,
  若 $\frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}=u(x)$ (两函数的比例与 $x$ 相关, 不恒为某个常数), 则称线性无关.
  
  如 $x^2$ 和 $\sin x$ 线性无关, $x^2$ 和 $3x^2$ 线性相关
性质
设 $\begin{cases} \text{➀ }y^{\prime\prime}+a(x)y^\prime+b(x)y=0 \\ \text{➁ }y^{\prime\prime}+a(x)y^\prime+b(x)y=c(x) \end{cases}$
1. 若 $\varphi_1(x)$, $\varphi_2(x)$ 为 ➀ 的解, 则 $y=C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)$ 仍为 ➀ 的解(线性组合)
2. 若 $\varphi_1(x)$, $\varphi_2(x)$ 分别为 ➀, ➁ 的解, 则 $y=\varphi_1(x)+\varphi_2(x)$ 为 ➁ 的解
3. 若 $\varphi_1(x)$, $\varphi_2(x)$ 为 ➁ 的解, 则 $y=\varphi_2(x)-\varphi_1(x)$ 为 ➀ 的解
  
  证明:
  若 $\varphi_1(x)$, $\varphi_2(x)$ 为 ➁ 的解
  则有 $\begin{cases} \varphi_1^{\prime\prime}+a(x)\varphi_1^\prime+b(x)\varphi_1=c(x) \\ \varphi_2^{\prime\prime}+a(x)\varphi_2^\prime+b(x)\varphi_2=c(x) \end{cases}$
  将 $y=\varphi_2(x)-\varphi_1(x)$ 代入 ➁:
  $(\varphi_2-\varphi_1)^{\prime\prime}+a(x)(\varphi_2-\varphi_1)^\prime+b(x)(\varphi_2-\varphi_1)$
  $=(\varphi_2^{\prime\prime}+a(x)\varphi_2^\prime+b(x)\varphi_2)-(\varphi_1^{\prime\prime}+a(x)\varphi_1^\prime+b(x)\varphi_1)$
  $=c(x)-c(x)=0$
  $\therefore y=\varphi_2(x)-\varphi_1(x)$ 为 ➀ 的解
4. 若 $\varphi_1(x)$, $\varphi_2(x)$ 为 ➀ 的两个线性无关的特解, $\varphi_0(x)$ 为 ➁ 的一个特解
  则 ➀ 通解为 $y=C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)$;
  ➁ 的通解为 $y=C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)+\varphi_0(x)$
5. ➂ $y^{\prime\prime}+a(x)y^\prime+b(x)y=f_1(x)+f_2(x)$
  ➂’ $\enspace y^{\prime\prime}+a(x)y^\prime+b(x)y=f_1(x)$
  ➂’’ $\enspace y^{\prime\prime}+a(x)y^\prime+b(x)y=f_2(x)$
  若 $\varphi_1(x)$, $\varphi_2(x)$ 分别为 ➂’, ➂’’ 的特解, 则 $y=\varphi_1(x)+\varphi_2(x)$ 为 ➂ 的特解
  
  证明:
  若 $\varphi_1(x)$, $\varphi_2(x)$ 为 ➂’, ➂’’ 的解
  则有 $\begin{cases} \varphi_1^{\prime\prime}+a(x)\varphi_1^\prime+b(x)\varphi_1=f_1(x) \\ \varphi_2^{\prime\prime}+a(x)\varphi_2^\prime+b(x)\varphi_2=f_2(x) \end{cases}$
  将 $y=\varphi_1(x)+\varphi_2(x)$ 代入 ➂:
  $(\varphi_1+\varphi_2)^{\prime\prime}+a(x)(\varphi_1+\varphi_2)^\prime+b(x)(\varphi_1+\varphi_2)=f(x)$
  $\hArr(\varphi_1^{\prime\prime}+a(x)\varphi_1^\prime+b(x)\varphi_1)+(\varphi_1^{\prime\prime}+a(x)\varphi_2^\prime+b(x)\varphi_2)=f(x)$
  $\hArr f_1(x)+f_2(x)=f(x)$
  $\therefore y=\varphi_1(x)+\varphi_2(x)$ 为 ➂ 的解

常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程: $y^{\prime\prime}+py^\prime+qy=0$
它的特征方程: $\lambda^2+p\lambda+q=0$ , $\Delta=b^2-4q$
1. $\Delta>0$, $y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$
2. $\Delta=0$, $y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}$
3. $\Delta<0$, $y=e^{\alpha x}[C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)]$
这种根据二阶常系数齐次线性方程的特征方程的根直接确定其通解的方法称为特征方程法
特征方程法解释:
二阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime\prime}+py^\prime+qy=0\enspace$ ($p$、$q$ 为常数) (⁕)
猜测: (⁕) 解的形式? $\begin{cases} e^{\lambda x} \\ \sin(\beta x)\cdot\cos(\beta x) \end{cases}$
令 $y=e^{\lambda x}$ 为 (⁕) 的解, 有
$\lambda^2e^{\lambda x}+p\lambda e^{\lambda x}+qe^{\lambda x}=0\rArr\lambda^2+p\lambda+q=0$, 称其为 (⁕) 的特征方程
- 情况1 $\Delta=p^2-4q>0$
  则 $\lambda^2+p\lambda+q=0$ 有两个不同实根 $\lambda_1$、$\lambda_2$
  因此 $y_1=e^{\lambda_1x}$, $y_2=e^{\lambda_2x}$ 为 (⁕) 的特解
  $\because\lambda_1\neq\lambda_2$
  $\therefore\frac{y_1}{y_2}=e^{(\lambda_1-\lambda_2)x}$ 不恒为某个常数, $y_1$ 与 $y_2$ 线性无关
  $\therefore$ (⁕) 的通解为 $y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$ (高阶线性线性微分方程性质 4)
- 情况2 $\Delta=p^2-4q=0$
  则 $\lambda^2+p\lambda+q=0$ 有两个相等的实根 $\lambda_1=\lambda_2$
  $y_1=e^{\lambda_1x}$ 为 (⁕) 的一个特解, 还要找出与 $y_1$ 线性无关的另一个特解 $y_2$
  (满足 $\frac{y_2}{y_1}$ 不是恒常数的 $y_2$)
  令 $\frac{y_2}{y_1}=u(x)(\neq C)$ 且 $y_2$ 为 (⁕) 的解, 得到
  $\begin{cases} y_2=ue^{\lambda_1x} \\ y_2^\prime=u^\prime e^{\lambda_1x}+\lambda_1ue^{\lambda_1x} \\ y_2^{\prime\prime}=u^{\prime\prime}e^{\lambda_1x}+2\lambda_1u^\prime e^{\lambda_1x}+\lambda_1^2ue^{\lambda_1x} \end{cases}$
  将以上三式代入 (⁕) 得
  $u^{\prime\prime}e^{\lambda_1x}+2\lambda_1u^\prime e^{\lambda_1x}+\lambda_1^2ue^{\lambda_1x}+pu^\prime e^{\lambda_1x}+p\lambda_1ue^{\lambda_1x}+que^{\lambda_1x}=0$
  $\rArr u^{\prime\prime}+2\lambda_1u^\prime+\lambda_1^2u+pu^\prime+p\lambda_1u+qu=0$
  $\rArr u^{\prime\prime}+(2\lambda_1+p)u^\prime+(\lambda_1^2+p\lambda_1+q)u=0$
  $\because \begin{cases} \lambda_1^2+p\lambda_1+q=0 \\ \lambda_1+\lambda_2=-p \rArr 2\lambda_1+p=0\enspace\footnotesize(\text{韦达定理} x_1+x_2=-\frac{b}{a}) \end{cases}$
  $\therefore u^{\prime\prime}=0$, 取 $u(x)=C_1x+C_2$
  $\therefore y_2=(C_1x+C_2)e^{\lambda_1x}=C_1xe^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_1x}$
  则通解 $\footnotesize y=C_0e^{\lambda_1x}+C_1xe^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_1x}=(C_0+C_1x+C_2)e^{\lambda_1x}=(C_3+C_1x)e^{\lambda_1x}$
- 情况3 $\Delta=p^2-4q<0$
  则 $\lambda^2+p\lambda+q=0$ 有一对共轭复根 $\footnotesize\lambda_{1,2}=-\frac{1}{2}p\pm\frac{1}{2}\sqrt{4q-p^2}i=\alpha\pm\beta i$
  $y_1=e^{(\alpha+\beta i)x}$ 与 $y_2=e^{(\alpha-\beta i)x}$ 为 (⁕) 的复值函数形式特解
  为了求出实值函数形式的特解, 将 $y_1$ 与 $y_2$ 改写为:
  $y_1=e^{\alpha x+\beta xi}=e^{\alpha x}\cdot e^{\beta xi}=e^{\alpha x}\cdot\underbrace{[\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)]}_{\text{欧拉公式 }e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta}$
  $y_2=e^{\alpha x-\beta xi}=e^{\alpha x}\cdot e^{-\beta xi}=e^{\alpha x}\cdot[\cos(\beta x)-i\sin(\beta x)]$
  取方程的两个特解: (高阶线性线性微分方程性质 1)
  $Y_1=\frac{1}{2}(y_1+y_2)=e^{\alpha x}\cos(\beta x)$
  $Y_2=\frac{1}{2i}(y_1-y_2)=e^{\alpha x}\sin(\beta x)$
  $\because\frac{Y_2}{Y_1}=\tan(\beta x)$
  $\therefore$ $Y_1$ 与 $Y_2$ 线性无关, (⁕) 的通解为 $\footnotesize y=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)=e^{\alpha x}[C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)]$

$n$ 阶常系数齐次线性微分方程 $y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}y^\prime+p_ny=0$
其特征方程: $\lambda^n+p_1\lambda^{n-1}+\cdots+p_{n-1}\lambda+p_n=0$

特征方程的根	通解中的对应项
$k$ 重根 $\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_k$	$y=C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})e^{\lambda_1x}$
$k$ 重共轭复根 $\lambda_{1,\cdots,n}=\alpha\pm\beta i$	$e^{\alpha x}[(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{n-1})\cos(\beta x) \\ +(D_0+D_1x+\cdots+D_kx^{k-1})\sin(\beta x)]$
例: $y^{\prime\prime\prime}+py^{\prime\prime}+qy^\prime+ry=0$, 它的特征方程 $\lambda^3+p\lambda^2+q\lambda+r=0$

$\lambda_1$、$\lambda_2$、$\lambda_3$ 为实数且各不相等
$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}+C_3e^{\lambda_3x}$
$\lambda_1$、$\lambda_2$、$\lambda_3$ 为实数且 $\lambda_1=\lambda_2\neq\lambda_3$
$y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}+C_3e^{\lambda_3x}$
$\lambda_1$、$\lambda_2$、$\lambda_3$ 为实数且相等
$y=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^{\lambda_1x}$
$\lambda_1\in R$, $\lambda_{2,3}=\alpha\pm i\beta$
$y=C_1e^{\lambda_1x}+e^{\alpha x}[C_2\cos(\beta x)+C_3\sin(\beta x)]$

常系数非齐次线性微分方程

形如 $y^{\prime\prime}+py^\prime+qy=f(x)\enspace$ ($p$、$q$ 为常数, $f(x)$ 称为自由项)
通解思路: (高阶线性微分方程性质 5)
1. 先求 $y^{\prime\prime}+py^\prime+qy=0$ 通解
2. 找 $y^{\prime\prime}+py^\prime+qy=f(x)$ 的一个特解 $y_0(x)$
  (很困难, 接下来只谈两种使用待定系数法的情况)
3. 有通解 $y=C_1e^{-x}+C_2e^{2x}+y_0(x)$
自由项 $f(x)=P_n(x)e^{kx}$
其中 $P_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$
令特解为 $y_0=x^l(ax+b)e^{kx}$ , 其中 $l$ 为与 $k$ 的值相等的特征值个数
- 例1: 求 $y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y=(2x+3)e^x$ 通解
  解:
  1. 特征方程: $\lambda^2-3\lambda+2=0\rArr\lambda_1=1$, $\lambda_2=2$
    $y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y=0$ 通解为 $y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}$
  2. $k=1=\lambda_1$, 因此令特解 $y_0(x)=x(ax+b)e^x=(ax^2+bx)e^x$, 有
    $\begin{array}{rl} y_0^\prime(x) & =(2ax+b)e^x+(ax^2+bx)e^x=(ax^2+2ax+bx+b)e^x \\ y_0^{\prime\prime}(x) & =(2ax+2a+b)e^x+(ax^2+2ax+bx+b)e^x \\ & =(ax^2+4ax+bx+2a+2b)e^x \end{array}$
    代入原式, 得到:
    
    $$ \begin{array}{l} \footnotesize(ax^2+4ax+bx+2a+2b)e^x-3(ax^2+2ax+bx+b)e^x+2(ax^2+bx)e^x=(2x+3)e^x \\ \footnotesize\hArr(ax^2+4ax+bx+2a+2b)-3(ax^2+2ax+bx+b)+2(ax^2+bx)=2x+3 \\ \footnotesize\hArr -2ax+2a-b=2x+3 \\ \footnotesize\rArr\begin{cases} -2ax=2x & \hArr a=-1\\ 2a-b=3 & \hArr b=-5 \end{cases} \end{array} $$
    
    即 $y_0(x)=-(x^2+5x)e^x$
  $\therefore$ 原方程通解为 $y=C_1e^x+C_2e^{2x}-(x^2+5x)e^x$
- 例2: 求 $y^{\prime\prime}-2y^\prime+y=(3x+2)e^x$ 通解
  解:
  1. 特征方程 $\lambda^2-2\lambda+1=0\rArr\lambda_1=\lambda_2=1$
    $y^{\prime\prime}-2y^\prime+y=0$ 通解 $y=(C_1+C_2x)e^x$
  2. $k=1=\lambda_1=\lambda_2$, 因此令特解 $\footnotesize y_0(x)=x^2(ax+b)e^x=(ax^3+bx^2)e^x$
    $y_0^\prime(x)=\cdots$, $y_0^{\prime\prime}(x)=\cdots$
    代入原方程解得 $a=\frac{1}{2}$, $b=1$
    即 $y_0(x)=(\frac{1}{2}x^3+x^2)e^x$
  $\therefore$ 原方程通解为 $y=(C_1+C_2x)e^x+(\frac{1}{2}x^3+x^2)e^x$
- 例3: 求 $y^{\prime\prime}-2y^\prime-3y=6x-1$ 通解
  解:
  1. $\lambda^2-2\lambda-3=0\rArr\lambda_1=-1$, $\lambda_2=3$
    $y^{\prime\prime}-2y^\prime-3y=0$ 通解为 $y=C_1e^{-x}+C_2e^3$
  2. 自由项 $6x-1$ 可视为 $(6x-1)e^0x$, 即 $k=0$.
    注意此题中 $\lambda$ 的值没有与 $k=0$ 相同的
    因此令特解 $y_0(x)=ax+b$
    (余下略)
    $\dots$
  $\dots$
$f(x)=e^{\alpha x}$ [$\text{多项式}\cdot\cos(\beta x)+\text{多项式}\cdot\sin(\beta x)$]
令特解为 $\footnotesize y_0(x)=x^le^{\alpha x}[a\cdot\cos(\beta x)+b\cdot\sin(\beta x)]\enspace$ ($a$、$b$ 根据多项式内容决定, $l$ 的值为与 $\alpha+i\beta$ 的值相等的特征值个数)
注: $\alpha$、$\beta$ 的值已经在方程中给出, 因此解对应非齐次方程通解可以直接用
- 例1: 求 $y^{\prime\prime}+4y=3\cos 2x$ 通解
  解:
  1. $\lambda^2+4=0\rArr\lambda_{1,2}=\pm 2i$
    $y^{\prime\prime}+4y=0$ 通解为 $y=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x$
  2. $\alpha=0$, $\beta=2\rArr\alpha+i\beta=2i=\lambda_1$
    因此令特解 $y_0(x)=x(a\cos 2x+b\sin 2x)\enspace$ ($\cos$ 和 $\sin$ 都不能少哦)
    (余下略)
    $\dots$
  $\dots$
- 例2: $y^{\prime\prime}-2y^\prime+2y=(x+1)e^x\cos x$
  解:
  1. $\lambda^2-2\lambda+2=0\rArr\lambda_{1,2}=1\pm i$
    $y^{\prime\prime}-2y^\prime+2y=0$ 通解为 $y=e^x(\cos x+\sin x)$
  2. $\alpha=1$, $\beta=1\rArr\alpha+i\beta=1+i=\lambda_1$
    因此令特解 $y_0(x)=xe^x[(ax+b)\cos x+(cx+d)\sin x]$
    (余下略, 解出 $a,b,c,d$, 最后得出通解)
    $\dots$
  $\dots$

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https://magic0whi.github.io/postgraduate-advanced-mathematics/

Author

Proteus Chan

Posted on

2021-01-19

Updated on

2024-08-17

Licensed under

#mathematics postgraduate

特征方程的根	通解中的对应项
\(k\) 重根 \(\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_k\)	\(y=C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})e^{\lambda_1x}\)
\(k\) 重共轭复根 \(\lambda_{1,\cdots,n}=\alpha\pm\beta i\)	\(e^{\alpha x}[(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{n-1})\cos(\beta x) \\ +(D_0+D_1x+\cdots+D_kx^{k-1})\sin(\beta x)]\)
例: \(y^{\prime\prime\prime}+py^{\prime\prime}+qy^\prime+ry=0\), 它的特征方程 \(\lambda^3+p\lambda^2+q\lambda+r=0\)

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