postgraduate-advanced-mathematics-2

同济高等数学笔记整合(下) 考研用
基于 wmathor/Postgraduate-Advanced-Mathematics
建议先看一看 Introduction to Linear Algebra - Determinant
补充了级数部分的内容

向量代数与空间解析几何

向量及其线性运算

1. 定义

   1. 向量: 有大小, 有方向. 向量由大小(长度)及方向唯一确定, 与位置无关的向量称为自由向量

   2. 向量相等: 若 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 方向相同且长度相同, 称 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 相等, 记 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)

   3. 向量的模:
      设 \(\vec{a}\) 为一个向量, 其长度记为 \(|\vec{a}|\)

      • 若 \(|\vec{a}|=0\) , 称 \(\vec{a}\) 为零向量, 记 \(\vec{a}=\vec{0}\) (零向量的方向不确定)
      • 若 \(|\vec{a}|=1\) , 称 \(\vec{a}\) 为单位向量

   4. 向量的夹角:
      设 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) , 如图
      \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 夹角为 \(\theta\) , 记 \((\widehat{\vec{a},\vec{b}})=\theta\enspace\) (\(0\leqslant\theta\leqslant\pi\))

2. 向量的线性运算

   1. 加法:
      \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)
      \(\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}\)

      • 平行四边形法则和三角形法则:

   2. 减法: \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\)

3. 空间直角坐标系
   \(x\)、\(y\)、\(z\) 顺序无所谓, 但必须逆时针排列

   \(z>0\)	\(z<0\)	\(x-y\) 平面
   第一卦限	第五卦限	\(x>0\) , \(y>0\)
   第二卦限	第六卦限	\(x<0\) , \(y>0\)
   第三卦限	第七卦限	\(x<0\) , \(y<0\)
   第四卦限	第八卦限	\(x>0\) , \(y<0\)
   空间向量的正交分解:

   则有 \(\overrightarrow{OM}=\{a,b,c\}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}\)
   \(\vec{i}\) 为 \(x\) 轴正方向的单位向量 \(\overrightarrow{OA}=a\vec{i}\)
   \(\vec{j}\) 为 \(y\) 轴正方向的单位向量 \(\overrightarrow{OB}=b\vec{j}\)
   \(\vec{k}\) 为 \(z\) 轴正反向的单位向量 \(\overrightarrow{OC}=c\vec{k}\)

4. 向量线性运算的代数描述
   设 \(\vec{a}=\{a_1,b_1,c_1\}\) , \(\vec{b}=\{a_2,b_2,c_2\}\)

   1. \(\vec{a}+\vec{b}=\{a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2\}\)
   2. \(\vec{a}-\vec{b}=\{a_1-a_2,b_1-b_2,c_1-c_2\}\)
   3. \(k\vec{a}=\{ka_1,kb_1,kc_1\}\)

5. 向量的模, 方向角, 方向余弦. 在坐标轴上的投影

   1. 向量的模
      设 \(\vec{a}=\{a_1,b_1,c_1\}\), 则 \(\vec{a}\) 的模 \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\) (空间勾股定理)

   2. 对应单位向量
      设 \(\vec{a}=\{a_1,b_1,c_1\}\neq\vec{0}\) , \(\vec{a}\) 对应的单位向量记为 \(\vec{a}^0\)
      \(\vec{a}^0=\frac{1}{|\vec{a}|}\cdot\vec{a}=\frac{1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}}\cdot\{a_1,b_1,c_1\}=\{\frac{a_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}},\frac{b_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}},\frac{c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}}\}\)

   3. 方向角和方向余弦
      设 \(\vec{a}=\{a_1,b_1,c_1\}\neq\vec{0}\) , \(\vec{a}\) 与 \(x\)、\(y\)、\(z\) 轴正方向的夹角称为方向角, 记 \(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)
      称 \(\cos\alpha\)、\(\cos\beta\)、\(\cos\gamma\) 为 \(\vec{a}\) 的方向余弦
      \(\because\cos\alpha=\frac{a_1}{|\vec{a}|}=\frac{a_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}},\cos\beta=\frac{b_1}{|\vec{a}|}=\frac{b_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}},\cos\gamma=\frac{c_1}{|\vec{a}|}=\frac{c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}}\)
      \(\therefore\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\}=\vec{a}^0=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)
      推论: \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\)

   4. 向量在坐标轴上的投影

      1. \(\overrightarrow{A_1B_1}\) 称为 \(\overrightarrow{AB}\) 在 \(u\) 轴上的投影向量, \(\overrightarrow{A_1B_1}=(x_2-x_1)\vec{e}\)
      2. \(A_1B_1=x_2-x_1\) 称为 \(\overrightarrow{AB}\) 在 \(u\) 轴上的投影, 记 \(Pr j_u\overrightarrow{AB}\)
      3. 设 \(\overrightarrow{AB}\) 与 \(u\) 轴夹角为 \(\theta\) , 则 \(Pr j_u\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AB}|\cdot\cos\theta\)

向量的数量积与向量积

1. 向量的数量积(参与运算的是向量, 结果是数)

   1. 产生的背景: 做功

      \(W=|\vec{F}|\cdot\cos\theta\cdot|\overrightarrow{AB}|=|\vec{F}|\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot\cos(\widehat{\overrightarrow{AB},\vec{F}})\hArr\vec{F}\cdot\overrightarrow{AB}\)

   2. 向量的数量积定义(几何)
      \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) 称为 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的数量积
      \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}})\)

   3. 性质

      1. \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)
      2. \(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\)
      3. \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\hArr\vec{a}\perp\vec{b}\)
      4. \(\vec{a}\cdot\vec{a}=0\hArr\vec{a}=\vec{0}\)

   4. 向量数量积的代数描述
      设
      \(\vec{a}=\{a_1,b_1,c_1\}=a_1\vec{i}+b_1\vec{j}+c_1\vec{k}\)
      \(\vec{b}=\{a_2,b_2,c_2\}=a_2\vec{i}+b_2\vec{j}+c_2\vec{k}\)
      则 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=(a_1\vec{i}+b_1\vec{j}+c_1\vec{k})\cdot(a_2\vec{i}+b_2\vec{j}+c_2\vec{k})=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2\)
      (推导思路: \(\vec{i}\)、\(\vec{j}\)、\(\vec{k}\) 三个向量为正交单位向量, 互相乘的值为零)
      推论: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\hArr\vec{a}\perp\vec{b}\hArr a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0\)

2. 向量的向量积(参与运算的是向量, 结果还是向量)

   1. 产生的背景: 法向量(垂直于某一平面的向量)

   2. 向量的向量积定义
      \(\vec{a}\times\vec{b}\) 称为 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 的向量积

      1. 几何刻划:
         \(\vec{a}\times\vec{b}\begin{cases} \text{方向:右手准则(拇指食指中指分别对应}\vec{a},\vec{b},\vec{c}) \\ \text{大小:}|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin(\widehat{\vec{a},\vec{b}}) \end{cases}\)
      2. 代数刻划:
         设
         \(\vec{a}=\{a_1,b_1,c_1\}=a_1\vec{i}+b_1\vec{j}+c_1\vec{k}\)
         \(\vec{b}=\{a_2,b_2,c_2\}=a_2\vec{i}+b_2\vec{j}+c_2\vec{k}\)
         则
         $$ \vec{a}\times\vec{b}=\{b_1c_2-b_2c_1,a_2c_1-a_1c_2,a_1b_2-a_2b_1\}=\{ \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} ,\begin{vmatrix} c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix} ,\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}\} $$
         推导:
         $$ \begin{aligned} \vec{a}\times\vec{b} & =(a_1\vec{i}+b_1\vec{j}+c_1\vec{k})\times(a_2\vec{i}+b_2\vec{j}+c_2\vec{k}) \\ & =\mskip{1.2em}a_1a_2\vec{i}\times\vec{i}+a_1b_2\vec{i}\times\vec{j}+a_1c_2\vec{i}\times\vec{k} \\ & \mskip{1.2em}+b_1a_2\vec{j}\times\vec{i}+b_1b_2\vec{j}\times\vec{j}+b_1c_2\vec{j}\times\vec{k} \\ & \mskip{1.2em}+c_1a_2\vec{k}\times\vec{i}+c_1b_2\vec{k}\times\vec{j}+c_1c_2\vec{k}\times\vec{k} \\ & =\mskip{1.2em}a_1b_2\vec{i}\times\vec{j}+a_1c_2\vec{i}\times\vec{k} \\ & \mskip{1.2em}+b_1a_2\vec{j}\times\vec{i}+b_1c_2\vec{j}\times\vec{k} \\ & \mskip{1.2em}+c_1a_2\vec{k}\times\vec{i}+c_1b_2\vec{k}\times\vec{j} \\ & =a_1b_2\vec{k}-a_1c_2\vec{j}-b_1a_2\vec{k}+b_1c_2\vec{i}+c_1a_2\vec{j}-c_1b_2\vec{i} \enspace(\text{结合下面性质3和4}) \\ & =(a_1b_2-b_1a_2)\vec{k}+(c_1a_2-a_1c_2)\vec{j}+(b_1c_2-c_1b_2)\vec{i} \\ & =\{b_1c_2-b_2c_1,a_2c_1-a_1c_2,a_1b_2-a_2b_1\} \end{aligned} $$

   3. 性质

      1. \(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\hArr\vec{a}\parallel\vec{b}\)

      2. \(\vec{a}\times\vec{b}\perp\vec{a},\vec{b}\)

      3. \(\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}\)

      4. \(\begin{cases} \vec{i}\times\vec{i}=\vec{0},\vec{j}\times\vec{j}=\vec{k}\times\vec{k}=\vec{0} \\ \vec{i}\times\vec{j}=\vec{k},\vec{k}\times\vec{i}=\vec{j},\vec{j}\times\vec{k}=\vec{i} \end{cases}\)

      5. \(|\vec{a}\times\vec{b}|=2S_\Delta\)

         推导:
         \(\begin{aligned} S_\Delta & =\frac{1}{2}|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin(\widehat{\vec{a},\vec{b}}) \\ & =\frac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}| \end{aligned}\)

空间曲面及方程

1. 空间曲面
   设 \(F(x,y,z)=0\) 为一个三元方程, \(\Sigma\) 为曲面
   若 \(F(x,y,z)=0\) 的任一解 \((x_0,y_0,z_0)\) 对应的点 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 在曲面 \(\Sigma\) 上
   或者说曲面 \(\Sigma\) 上存在点 \(M(x_0, y_0, z_0)\) 使得 \(F(x_0,y_0,z_0)=0\)
   称 \(F(x,y,z)=0\) 为曲面 \(\Sigma\) 的方程, \(\Sigma\) 为方程 \(F(x,y,z)=0\) 对应的曲面
   记 \(\Sigma:F(x,y,z)=0\)

2. 柱面

   1. \(\Sigma:F(x,y)=0\) 为母线(延伸方向)平行于 \(z\) 轴的柱面
   2. \(\Sigma:G(y,z)=0\) 为母线平行于 \(x\) 轴的柱面
   3. \(\Sigma:H(x,z)=0\) 为母线平行于 \(y\) 轴的柱面

   • 例: 同一个方程 \(x^2+y^2=4\) , 在二维坐标系中是一个半径为 2 的圆(称作母线); 在三维坐标系中在 \(z\) 轴无限延申, 成为了到 \(z\) 轴的距离为 2 的点形成的曲面

     设 \(T(0,0,z)\) 为 \(z\) 轴上一点, \(\forall M(x,y,z)\in\Sigma\)
     有 \(|MT|=2\rArr\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2+(z-z)^2}=2\rArr x^2+y^2=4\)
     \(\therefore\Sigma:x^2+y^2=4\)

   • 柱面 \(\Sigma:F(x,y)=0\) 在 \(xOy\) 面内的投影曲线为
     \(L:\begin{cases} F(x,y)=0 \\ z=0 \end{cases}\)

3. 旋转曲面
   设 \(L:\begin{cases} F(x,y)=0 \\ z=0 \end{cases}\)

   1. 设 \(L\) 绕 \(x\) 轴旋转一周形成的曲面为 \(\Sigma_x\)

      \(\forall M(x,y,z)\in\Sigma_x\) , \(M_0(x,y_0,0)\in L\) , \(T(x, 0, 0)\)
      由 \(|M_0T|=|MT|\) 得
      \(\sqrt{(x-x)^2+(y_0-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{(x-x)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\)
      \(\hArr\sqrt{y_0^2}=\sqrt{y^2+z^2}\)
      \(\hArr y_0=\pm\sqrt{y^2+z^2}\)
      \(\because M_0\in L\)
      \(\therefore F(x,y_0)=0\)
      \(\therefore\Sigma_x:F(x,\pm\sqrt{y^2+z^2})=0\)

   2. 设 \(L\) 绕 \(y\) 轴旋转一周形成的曲面为 \(\Sigma_y\)
      \(\Sigma_y:f(\pm\sqrt{x^2+z^2},y)=0\) (参考绕 \(x\) 轴)

4. 空间平面(空间曲面的特殊情形)

   1. 平面的点法式方程

      设曲面某点 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\in\pi\) , 法向量 \(\vec{n}=\{A,B,C\}\perp\pi\)
      \(\forall M(x,y,z)\in\pi\rArr\vec{n}\perp\overrightarrow{M_0M}\rArr\vec{n}\cdot\overrightarrow{M_0M}=0\)
      代入 \(\overrightarrow{M_0M}=\{x-x_0,y-y_0,z-z_0\}\)
      得到 \(\pi:A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)

   2. 截距式方程

      \(\overrightarrow{AB}=\{-a,b,0\}\) , \(\overrightarrow{AC}=\{-a,0,c\}\)
      平面 \(ABC\) 的法向量 \(\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\{bc,ac,ab\}\)
      将点 \(C\) 代入点法式方程:
      \(\pi:bc(x-a)+ac(y-0)+an(z-0)=0\rArr bc(x-a)+acy+abz=0\)
      \(\hArr bcx+acy+abz=abc\hArr\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)
      即 \(\pi:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)

   3. 一般式方程 \(\pi:Ax+By+Cz+D=0\) , 法向量 \(\vec{n}=\{A,B,C\}\)

5. 两个平面夹角

   \(\pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\) , \(\vec{n_1}=\{A_1,B_1,C_1\}\)
   \(\pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\) , \(\vec{n_2}=\{A_2,B_2,C_2\}\)

   1. 若 \((\widehat{\vec{n_1},\vec{n_2}})\in[0,\frac{\pi}{2}]\) , 则平面夹角 \(\theta=(\widehat{\vec{n_1},\vec{n_2}})\)
      有 \(\cos\theta=\cos(\widehat{\vec{n_1},\vec{n_2}})=\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}\)

   2. 若 \((\widehat{\vec{n_1},\vec{n_2}})\in(\frac{\pi}{2},\pi]\) , 则平面夹角 \(\theta=\pi-(\widehat{\vec{n_1},\vec{n_2}})\)
      有 \(\cos\theta=\cos(\pi-(\widehat{\vec{n_1},\vec{n_2}}))=-\cos(\widehat{\vec{n_1},\vec{n_2}})=-\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}\)

   平面夹脚应是锐角, 因此综合 1、2 得: \(\cos\theta=|\frac{\vec{n_1}\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}|\)

空间曲线及方程

1. 空间曲线的形式

   1. 一般形式

      (两个空间曲面的交点集合是一条空间曲线)
      \(L:\begin{cases} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{cases}\)

   2. 参数式
      \(L:\begin{cases} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \\ z=\omega(t) \end{cases}\)
      如:
      \(L:\begin{cases} x^2+y^2=1 \\ x+y-z-2=0 \end{cases}\rArr\) 化为参数式 \(L:\begin{cases} x=\cos t \\ y=\sin t \\ z=\sin t+\cos t-2 \end{cases}\)

2. 空间直线(空间曲线的特殊情形)

   1. 点向式(对称式)方程: \(L:\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}\)

      设 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\in L\) , \(\vec{S}=\{m,n,p\}\parallel L\)
      \(\forall M(x,y,z)\in L\), 有 \(\overrightarrow{M_0M}=\{x-x_0,y-y_0,z-z_0\}\) 且 \(\overrightarrow{M_0M}\parallel\vec{S}\)
      \(\because\overrightarrow{M_0M}\parallel\vec{S}\hArr\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}\)
      \(\therefore L:\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}\)

   2. 参数式方程: 若 \(\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t\) 则 \(L:\begin{cases} x=mt+x_0 \\ y=nt+y_0 \\ z=pt+z_0 \end{cases}\)

   3. 一般式
      \(L:\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}\)

      (两平面相交得到一条直线)

3. 投影曲线

   设 \(L:\begin{cases} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{cases}\)
   曲线 \(L\) 向 \(xOy\) 面铅直投影得到投影曲线 \(L_0\)
   由 \(\begin{cases} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{cases}\xRightarrow{\text{消}\large z}H(x,y)=0\)
   得到 \(L_0:\begin{cases} H(x,y)=0 \\ z=0 \end{cases}\)

杂知识点

1. 夹角

   1. 两向量的夹角:
      设向量 \(\vec{a}=\{a_1,b_1,c_1\}\) , \(\vec{b}=\{a_2,b_2,c_2\}\) , \((\widehat{\vec{a},\vec{b}})=\theta \enspace\) (\(0\leqslant\theta\leqslant\pi\))
      由 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\theta\)
      得 \(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)

   2. 两平面夹角:

      \(\pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\)
      \(\pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\)
      设 \(\pi_1\) , \(\pi_2\) 夹角为 \(\theta\)

      1. \((\widehat{\vec{n_1},\vec{n_2}})\in[0,\frac{\pi}{2}]\) 时 \(\theta=(\widehat{\vec{n_1},\vec{n_2}})\)
      2. \((\widehat{\vec{n_1},\vec{n_2}})\in(\frac{\pi}{2},\pi]\) 时 \(\theta=\pi-(\widehat{\vec{n_1},\vec{n_2}})\)

      综合得 \(\cos\theta=|\cos(\widehat{\vec{n_1},\vec{n_2}})|=\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\)

   3. 两直线夹角:

      \(L_1:\frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1}\)
      \(L_2:\frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_1}{p_2}\)
      设 \(L_1\) , \(L_2\) 夹脚为 \(\theta\enspace\) (\(0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2}\))

      1. \((\widehat{\vec{s_1},\vec{s_2}})\in[0,\frac{\pi}{2}]\) , 则 \(\theta=(\widehat{\vec{s_1},\vec{s_2}})\)
      2. \((\widehat{\vec{s_1},\vec{s_2}})\in(\frac{\pi}{2},\pi]\) , 则 \(\theta=\pi-(\widehat{\vec{s_1},\vec{s_2}})\)

      综合得 \(\cos\theta=|\cos(\widehat{\vec{s_1},\vec{s_2}})|=\frac{|\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}|}{|\vec{s_1}||\vec{s_2}|}=\frac{|m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}\)

   4. 直线与平面夹角:

      \(L:\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}\) , \(\vec{s}=\{m,n,p\}\parallel L\)
      \(\pi:Ax+By+Cz+D=0\) , \(\vec{n}=\{A,B,C\}\)

      1. 若 \((\widehat{\vec{n},\vec{s}})\in[0,\frac{\pi}{2}]\)
         则 \(\varphi+(\widehat{\vec{n},\vec{s}})=\frac{\pi}{2}\rArr\varphi=\frac{\pi}{2}-(\widehat{\vec{n},\vec{s}})\)
         \(\therefore\sin\varphi=\cos(\widehat{\vec{n},\vec{s}})\)

      2. 若 \((\widehat{\vec{n},\vec{s}})\in(\frac{\pi}{2},\pi]\)
         则 \((\widehat{\vec{n},\vec{s}})=\frac{\pi}{2}+\varphi\rArr\varphi=-(\frac{\pi}{2}-(\widehat{\vec{n},\vec{s}}))\)
         \(\therefore\sin\varphi=-\cos(\widehat{\vec{n},\vec{s}})\)

      综合 1、2 得 \(\sin\varphi=|\cos(\vec{n},\vec{s})|=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{s}|}{|\vec{n}|\cdot|\vec{s}|}\)

2. 距离

   1. 两点距离:
      设 \(A(x_1,y_1,z_1)\) , \(B(x_2,y_2,z_2)\)
      则 \(AB\) 距离 \(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2+z_1)^2}\)

   2. 点到平面距离

      设 \(\pi:Ax+By+Cz+D=0\) , \(M_0(x_0,y_0,z_0)\notin\pi\) , \(\forall M_1(x_1, y_1, z_1)\in\pi\)
      有 \(\overrightarrow{M_0M_1}=\{x_1-x_0, y_1-y_0, z_1-z_0\}\)

      $$ \begin{aligned} Prj_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M_1}=\frac{\vec{n}\cdot\overrightarrow{M_0M_1}}{|\vec{n}|} & =\frac{A(x_1-x_0)+B(y_1-y_0)+C(z_1-z_0)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\ & =\frac{(Ax_1+By_1+Cz_1)-(Ax_0+By_0+Cz_0)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \end{aligned} $$

      将 \(M_1\) 代入平面 \(\pi\) 得 \(Ax_1+By_1+Cz_1=-D\)
      \(\therefore Prj_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M_1}=-\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)
      \(\therefore d=|Prj_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M_1}|=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)

3. 平面束
   \(L\) 为直线, 经过 \(L\) 的所有平面称为平面束
   设 \(L:\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}\)
   过 \(L\) 的平面束为 \(\pi:A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0\)
   \(\hArr\pi:(A_1+A_2\lambda)x+(B_1+B_2\lambda)y+(C_1+C_2\lambda)z+(D_1+D_2\lambda)=0\)
   例: 求直线 \(\begin{cases} x+y-z-1=0 \\ x-y+z+1=0 \end{cases}\) 在平面 \(x+y+z=0\) 上的投影直线
   解:

   1. 过直线 \(L\) 的平面束为
      \(\pi:x+y-z-1+\lambda(x-y+z+1)=0\)
      即 \(\pi:(\lambda+1)x+(1-\lambda)y+(\lambda-1)z+\lambda-1=0\)
   2. 在平面束 \(\pi\) 中找一个平面 \(\pi_0\) , 使其与平面 \(x+y+z=0\) 垂直, \(\pi_0\) 与 \(x+y+z=0\) 相交的直线即为 \(L\) 的投影直线
      \(\{(\lambda+1),(1-\lambda),(\lambda-1)\}\cdot\{1,1,1\}=0\rArr \lambda=-1\)
      投影直线 \(L_0:\begin{cases} 2y-2z-2=0 \\ x+y+z=0 \end{cases}\)

多元函数微分学及应用

多元函数的基本概念

1. 平面点集
   1. 邻域: 设 \(M_0(x_0, y_0)\in D\) , \(\delta>0\)

      • 称 \(\{(x, y)|\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta\}\) 为 \(M_0\) 的 \(\delta\) 邻域, 记 \(\bigcup(M_0, \delta)\)

      • 称 \(\{(x, y)|0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta\}\) 为 \(M_0\) 的去心 \(\delta\) 邻域, 记 \(\mathring{\bigcup}(M_0, \delta)\)

   2. 开集: 设 \(D\) 为 \(xOy\) 面上的点集,
      若 \(\forall M_0(x_0,y_0)\in D\) , \(\exist\delta>0\) 使 \(\bigcup(M_0,\delta)\subset D\) , 称 \(D\) 为开集
   3. 区域: 连通的开集称为区域(开区域)
   4. 闭区域: 开区域连同边界称为闭区域
2. 多元函数的概念(空间中的一个曲面)
   设 \(D\) 为区域, \(x,y,z\) 为变量,
   若 \(\forall(x,y)\in D\) , \(\exist z\) 与 \((x,y)\) 对应, 称 \(z\) 为 \((x,y)\) 的函数, 记 \(z=f(x,y)\)
   \(D\) 为定义域, 值域 \(R=\{z|z=f(x,y),(x,y)\in D\}\)
3. 多元函数的极限
   回顾一元函数极限定义:
   设 \(y=f(x)\enspace\) (\(x\in D\))
   若 \(\forall\varepsilon>0\) , \(\exist\delta>0\) , 当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时, 有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\)
   称 \(A\) 为 \(f(x)\) 当 \(x\to x_0\) 的极限, 记 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\)
   二元函数极限定义:
   设 \(z=f(x,y)\enspace\) (\((x,y)\in D\)) , \(M_0(x_0,y_0)\in D\)
   若 \(\forall\varepsilon>0\) , \(\exist\delta>0\) , 当 \(0<\sqrt{(x-x_0)^2-(y-y_0)^2}<\delta\) 时, 有 \(|f(x, y)-A|<\varepsilon\)
   称 \(A\) 为 \(f(x,y)\) 当 \((x,y)\to(x_0,y_0)\) 的极限, 记 \(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ y\to y_0}}f(x,y)=A\)
4. 多元函数连续性与性质
   设 \(z=f(x,y)\enspace\) (\((x,y)\in D\)) , \(M_0(x_0,y_0)\in D\)
   若 \(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ y\to y_0}}f(x,y)=f(x_0,y_0)\) , 称 \(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 处连续
5. 多元函数在有界闭区域上的性质
   1. 最值定理
      设 \(D\) 为有界闭区域, \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上连续
      则 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上取到最小值 \(m\) 和最大值 \(M\)
   2. 有界定理
      设 \(D\) 为有界闭区域, \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上连续
      则 \(\exist k>0,\forall(x,y)\in D\) , 有 \(|f(x,y)|\leqslant k\)
   3. 介值定理
      设 \(D\) 为有界闭区域, \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上连续
      则 \(\forall\delta\in[m,M]\) , \(\exist(\xi,\eta)\in D\) 使 \(f(\xi,\eta)=\delta\)

偏导数

1. 定义
   设 \(z=f(x,y)\enspace\) (\((x,y)\in D)\) , \(M_0(x_0,y_0)\in D\)

   1. 偏增量
      • \(f(x,y)\) 在 \(M_0\) 处关于 \(x\) 的偏增量: \(\Delta z_x=f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)=f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\)
      • \(f(x,y)\) 在 \(M_0\) 处关于 \(y\) 的偏增量: \(\Delta z_y=f(x_0, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)=f(x_0,y)-f(x_0,y_0)\)
      • \(f(x,y)\) 在 \(M_0\) 处的全增量: \(\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=f(x,y)-f(x_0,y_0)\)
   2. 偏导数
      • 若 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta z_x}{\Delta x}\) 存在, 称 \(f(x,y)\) 在 \(M_0\) 处关于 \(x\) 可偏导,
        该极限称为 \(f(x,y)\) 在 \(M_0\) 处关于 \(x\) 的偏导数, 记 \(f_x^\prime(x_0,y_0)\) 或 \(\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}\)
      • 若 \(\lim\limits_{\Delta y\to 0}\frac{\Delta z_y}{\Delta y}\) 存在, 称 \(f(x,y)\) 在 \(M_0\) 处关于 \(y\) 可偏导,
        该极限称为 \(f(x,y)\) 在 \(M_0\) 处关于 \(y\) 的偏导数, 记 \(f_y^\prime(x_0,y_0)\) 或 \(\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}\)
      • 若 \(\forall(x,y)\in D\) , \(f(x,y)\) 对 \(x\)、\(y\) 皆可偏导, 称 \(f_x^\prime(x,y)\)、\(f_y^\prime(x,y)\) 为 \(f(x,y)\) 对 \(x\)、\(y\) 的偏导数

2. 高阶偏导数
   设 \(z=f(x,y)\) 在 \(D\) 内对 \(x\)、\(y\) 可偏导,
   \(f_x^\prime(x,y)=\frac{\partial z}{\partial x}\) 为 \(f(x,y)\) 对 \(x\) 偏导数,
   \(f_y^\prime(x,y)=\frac{\partial z}{\partial y}\) 为 \(f(x,y)\) 对 \(y\) 偏导数.

   1. 若 \(f_x^\prime(x,y)\) 对 \(x\) 可偏导, 其对 \(x\) 的偏导数称为 \(f(x,y)\) 对 \(x\) 的二阶偏导数, 记 \(f_{xx}^{\prime\prime}\) 或 \(\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\)
      若 \(f_y^\prime(x,y)\) 对 \(y\) 可偏导, 其对 \(y\) 的偏导数称为 \(f(x,y)\) 对 \(y\) 的二阶偏导数, 记 \(f_{yy}^{\prime\prime}\) 或 \(\frac{\partial^2z}{\partial y^2}\)
   2. 若 \(f_x^\prime(x,y)\) 对 \(y\) 可偏导, 其对 \(y\) 的偏导数称为 \(f(x,y)\) 对 \(x\)、\(y\) 的二阶混合偏导数, 记 \(f_{xy}^{\prime\prime}(x,y)\) 或 \(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\)
      若 \(f_y^\prime(x,y)\) 对 \(x\) 可偏导, 其对 \(x\) 的偏导数称为 \(f(x,y)\) 对 \(y\)、\(x\) 的二阶混合偏导数, 记 \(f_{yx}^{\prime\prime}(x,y)\) 或 \(\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}\)
   • 定理:
     若 \(z=f(x,y)\) 的二阶混合偏导数 \(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\)、\(\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}\) 皆连续,
     则 \(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}\) , 即 \(f_{xy}^{\prime\prime}=f_{yx}^{\prime\prime}\)

全微分

1. 二元函数全微分定义
   设 \(z=f(x,y)\enspace\) (\((x,y)\in D\)) , \(M_0(x_0,y_0)\in D\) ,
   全增量 \(\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=f(x,y)-f(x_0,y_0)\)
   若 \(\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\circ(\rho)\) , \(\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\)
   称 \(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 处可全微, \(A\Delta x+B\Delta y\) 为 \(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 处的全微分, 记 \(\mathrm{d}z|_{(x_0,y_0)}=A\mathrm{d}x+B\mathrm{d}y\)

   全微分: \(\mathrm{d}z|_{(x_0,y_0)}=f_x^\prime(x_0,y_0)\mathrm{d}x+f_y^\prime(x_0,y_0)\mathrm{d}y=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y\)

2. 性质
   设 \(z=f(x,y)\enspace\) (\((x, y)\in D\)) , \(M_0(x_0,y_0)\in D\)

   1. 若 \(f(x,y)\) 在 \(M_0\) 处可微, 则 \(f(x,y)\) 在 \(M_0\) 连续且可偏导, 反之不对
   2. 可微充分条件: 若 \(z=f(x,y)\) 连续可偏导, 则 \(f(x,y)\) 可微

   例: \(z=f(x,y)=|x|+|y|\) 在 \((0,0)\) 连续, 证 \(f(x,y)\) 在 \((0,0)\) 不可微
   证: \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{|x|}{x}\) 不存在 \(\rArr f(x,y)\) 在 \((0,0)\) 对 \(x\) 不可偏导.
   同理 \(f(x,y)\) 在 \((0,0)\) 不可偏导
   \(\therefore f(x,y)\) 在 \((0,0)\) 不可微

多元复合函数求导法则

• 情形一: \(z=f(u,v)\) , \(\begin{cases} u=\varphi(t) \\ v=\psi(t) \end{cases}\rArr z=f[\varphi(t),\psi(t)]\)
  若 \(z=f(u,v)\) 关于 \(u\)、\(v\) 连续可偏导, \(\varphi(t)\) , \(\psi(t)\) 可导, 则 \(z=f[\varphi(t),\psi(t)]\) 可导,
  且 \(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=f_{u}^\prime\cdot\varphi(t)^\prime+f_{v}^\prime\cdot\psi^\prime(t)\)
  • 证明:
    (\(\Delta u=\varphi(t+\Delta t)-\varphi(t)\) , \(\Delta v=\psi(t+\Delta t)-\psi(t)\))
    \(\because z=f(u,v)\) 关于 \(u\)、\(v\) 连续可偏导
    \(\therefore z=f(u,v)\) 可微
    \(\therefore\Delta z=\frac{\partial f}{\partial u}\Delta u+\frac{\partial f}{\partial v}\Delta v+\circ(\rho)\) , \(\rho=\sqrt{(\Delta u)^2+(\Delta v)^2}\)
    \(\rArr\frac{\Delta z}{\Delta t}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\Delta u}{\Delta t}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\Delta v}{\Delta t}+\frac{\circ(\rho)}{\Delta t}\)
    \(\rArr\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=f_{u}^\prime\cdot\varphi(t)^\prime+f_{v}^\prime\cdot\psi^\prime(t)\)
• 情形二: \(z=f(u,v)\) , \(\begin{cases} u=\varphi(x,y) \\ v=\psi(x,y) \end{cases}\rArr z=f[\varphi(x,y),\psi(x,y)]\)
  \(z=f(u,v)\) 关于 \(u\)、\(v\) 连续可偏导, \(\begin{cases} u=\varphi(x,y) \\ v=\psi(x,y) \end{cases}\) 对 \((x,y)\) 可偏导
  则 \(z=f[\varphi(x,y),\psi(x,y)]\) 关于 \(x\)、\(y\) 可偏导,
  且
  \(\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}\)
  \(\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}\)

隐函数求导法则

1. 一个约束条件的情形
   隐函数显式化: \(f(x,y)=0\rArr y=\varphi(x)\)
   • 定理一:
     设 \(F(x,y)\) 在点 \(M_0(x_0,y_0)\) 邻域内连续可偏导且 \(F(x_0,y_0)=0\) ,
     若 \(F_y^\prime(x_0,y_0)\neq 0\enspace\)
     则由 \(F(x,y)=0\) 在 \(M_0\) 邻域内确定唯一连续可导函数 \(y=f(x)\) 使 \(y_0=f(x_0)\) (隐函数显式化),
     则 \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{F_x^\prime}{F_y^\prime}\)
     证明:
     \(F(x,y)=0\) , 把 \(y\) 看成 \(x\) 的函数 \(f(x)\) , 则 \(F(x,f(x))=0\)
     两边对 \(x\) 求导, \(F_x^\prime+F_y^\prime f^\prime(x)=F_x^\prime+F_y^\prime\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0\rArr\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x^\prime}{F_y^\prime}\)
   • 定理二:
     设 \(F(x,y,z)\) 在 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 邻域内连续可偏导且 \(F(x_0,y_0,z_0)=0\)
     若 \(F_z^\prime(x_0,y_0,z_0)\neq 0\enspace\)
     则由 \(F(x,y,z)=0\) 在 \(M_0\) 邻域内确定唯一连续可偏导函数 \(z=\varphi(x,y)\) 使 \(z_0=\varphi(x_0,y_0)\) ,
     则 \(\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x^\prime}{F_z^\prime}\) , \(\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{F_y^\prime}{F_z^\prime}\)
     证明:
     \(F(x,y,z)=0\rArr z=\varphi(x,y)\)
     两边对 \(x\) 求偏导, \(F_x^\prime+F_z^\prime\frac{\partial z}{\partial x}=0\rArr\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^\prime}{F_z^\prime}\)
     两边对 \(y\) 求偏导, \(F_y^\prime+F_z^\prime\frac{\partial z}{\partial y}=0\rArr\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^\prime}{F_z^\prime}\)

多元函数微分学的几何应用

1. 空间曲线(求曲线切线和法平面)

   设 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\in L\) , \(M(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)\in L\)
   \(\overrightarrow{M_0M}=\{\Delta x,\Delta y,\Delta z\}\)
   直线 \(\overline{M_0M}:\frac{x-x_0}{\Delta x}=\frac{y-y_0}{\Delta y}=\frac{z-z_0}{\Delta z}\)

   • 情况一 \(L:\begin{cases} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \\ z=\omega(t) \end{cases}\) , \(M_0(x_0,y_0,z_0)\hArr t=t_0\) , \(M(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)\hArr t=t_0+\Delta t\)
     \(\overline{M_0M}=\frac{x-x_0}{\Delta x}=\frac{y-y_0}{\Delta y}=\frac{z-z_0}{\Delta z}\hArr\frac{x-x_0}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}=\frac{y-y_0}{\frac{\Delta y}{\Delta t}}=\frac{z-z_0}{\frac{\Delta z}{\Delta t}}\)
     当 \(\Delta t\to 0\) 时, \(\overline{M_0M}\) 即为切线
     \(\therefore\) 切线: \(\frac{x-x_0}{\varphi^\prime(t_0)}=\frac{y-y_0}{\psi^\prime(t_0)}=\frac{z-z_0}{\omega^\prime(t_0)}\) ,
     曲线方向向量 \(\vec{T}=\{\varphi^\prime,\psi^\prime,\omega^\prime\}\) ,
     法平面 \(\varphi^\prime(x-x_0)+\psi^\prime(y-y_0)+\omega^\prime(z-z_0)=0\)
   • 情况二 \(L:\begin{cases} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{cases}\) , \(M_0(x_0,y_0,z_0)\in L\)
     曲线方向向量 \(\vec{T}=\{\begin{vmatrix} F_y^\prime & F_z^\prime \\ G_y^\prime & G_z^\prime \end{vmatrix},\begin{vmatrix} F_z^\prime & F_x^\prime \\ G_z^\prime & G_x^\prime \end{vmatrix},\begin{vmatrix} F_x^\prime & F_y^\prime \\ G_x^\prime & G_y^\prime \end{vmatrix}\}\)
     将曲线方向向量代入切线和法平面方程即可(方程参考情况一)

2. 空间曲面(求曲面切平面和法线)
   求空间曲面上某一点的法向量:
   设曲面 \(\Sigma:F(x,y,z)=0\) , \(M_0(x_0,y_0,z_0)\in\Sigma\)
   在 \(\Sigma\) 内过 \(M_0\) 任取一曲线 \(L:\begin{cases} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \\ z=\omega(t) \end{cases}\) , \(M_0\hArr t=t_0\)
   \(\because L\subset\Sigma\)
   \(\therefore F[\varphi(t),\psi(t),\omega(t)]=0\)
   两边对 \(t\) 求导:
   \(F_x^\prime[\varphi(t),\psi(t),\omega(t)]\cdot\varphi^\prime(t)+F_y^\prime[\varphi(t),\psi(t),\omega(t)]\psi^\prime(t)+F_z^\prime[\varphi(t),\psi(t),\omega(t)]\omega^\prime(t)=0\enspace\) (多元复合函数求导情形一)
   将 \(t=t_0\) 代入:
   \(F_x^\prime(x_0,y_0,z_0)\varphi^\prime(t_0)+F_y^\prime(x_0,y_0,z_0)\psi^\prime(t_0)+F_z^\prime(x_0,y_0,z_0)\omega^\prime(t_0)=0\)
   可拆为两个向量点乘: \(\{F_x^\prime,F_y^\prime,F_z^\prime\}_{M_0}\cdot\{\varphi^\prime(t_0),\psi^\prime(t_0),\omega^\prime(t_0)\}=0\)
   则法向量 \(\vec{n}=\{F_x^\prime,F_y^\prime,F_z^\prime\}_{M_0}\) (后者是曲线在点 \(M_0\) 的方向向量, 那么与之垂直的前者就是法向量了)

方向导数与梯度

1. 方向导数
   1. 定义

      • 二元函数

        设 \(z=f(x,y)\enspace\) (\((x,y)\in D\)) , \(M_0(x_0,y_0)\in D\)
        在 \(xOy\) 面内过 \(M_0\) 作射线 \(L\) ,
        取 \(M(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\in L\) , \(\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\)
        \(\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\)
        若 \(\lim\limits_{\rho\to 0}\frac{\Delta z}{\rho}\) 存在, 称此极限为函数 \(z=f(x,y)\) 在 \(M_0\) 处沿射线 \(L\) 的方向导数, 记 \(\frac{\partial z}{\partial L}|_{M_0}\)

      • 三元函数
        设 \(u=f(x,y,z)\enspace\) (\((x,y,z)\in\Omega\)) , \(M_0(x_0,y_0,z_0)\in\Omega\)
        过 \(M_0\) 作射线 \(L\),
        取 \(M(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)\in L\) , \(\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}\)
        \(\Delta u=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)-f(x_0,y_0,z_0)\)
        若 \(\lim\limits_{\rho\to 0}\frac{\Delta u}{p}\) 存在, 称此极限为 \(u=f(x,y,z)\) 在 \(M_0\) 处沿射线 \(L\) 的方向导数, 记 \(\frac{\partial u}{\partial L}|_{M_0}\)

   2. 方向导数计算方法

      • 二元函数
        \(z=f(x,y)\) 在 \(M_0(x_0,y_0)\) 可微,

        在 \(xOy\) 面内过 \(M_0\) 作射线 \(L\) , 方向角为 \(\alpha\)、\(\beta\) ,
        则 \(\frac{\partial z}{\partial L}|_{M_0}=f_x^\prime(x_0,y_0)\cdot\cos\alpha+f_y^\prime(x_0,y_0)\cos\beta\)

      • 三元函数
        \(u=f(x, y, z)\) 在 \(M_0(x_0, y_0, z_0)\) 可微,
        过 \(M_0\) 作射线 \(L\) , 方向角为 \(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\) ,
        则 \(\frac{\partial u}{\partial L}|_{M_0}=\frac{\partial u}{\partial x}|_{M_0}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}|_{M_0}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}|_{M_0}\cos\gamma\)

2. 梯度
   \(u=f(x,y,z)\) , \(M_0(x_0,y_0,z_0)\in\Omega\) , 过 \(M_0\) 作射线 \(L\) , 方向角为 \(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)
   则有方向导数 \(\frac{\partial u}{\partial L}|_{M_0}=\frac{\partial u}{\partial x}|_{M_0}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}|_{M_0}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}|_{M_0}\cos\gamma\)
   上式可分离为两个向量点乘:
   \(\frac{\partial u}{\partial L}|_{M_0}=\{\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\}|_{M_0}\cdot\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\}\)
   这两个向量中前者称作梯度, 即函数 \(u\) 的梯度: \(\nabla u=\{\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\}|_{M_0}\)
   后者是与 \(L\) 同向的单位向量, 记 \(\vec{e}=\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\}\)
   则 \(\frac{\partial u}{\partial L}|_{M_0}=\nabla u\cdot\vec{e}=\sqrt{(\frac{\partial u}{\partial x})^2+(\frac{\partial u}{\partial y})^2+(\frac{\partial u}{\partial z})^2}\cdot1\cdot\cos\theta\enspace\) (\(\theta\) 为 \(\nabla u\) 与 \(\vec{e}\) 间的夹角)
   由该式可知当 \(\cos\theta=1\) , 即 \(\theta=0\) 时, 这个点的方向导数 \(\frac{\partial u}{\partial L}|_{M_0}\) 取最大值
   因此梯度的方向即函数增大速度最快的方向, 或方向导数取最大值的方向

代数应用–多元函数的极值

1. 定义:
   设\(z=f(x,y)\enspace\) (\((x, y)\in D\)) , \(M_0(x_0,y_0)\in D\)
   若 \(\exist\delta>0\) , \(\forall (x,y)\in\mathring{\bigcup}(M_0,\delta)\)
   • \(f(x,y)>f(x_0,y_0)\) , 称 \((x_0,y_0)\) 为极小点
   • \(f(x,y)<f(x_0,y_0)\) , 称 \((x_0,y_0)\) 为极大点
2. 无条件极值
   设 \(z=f(x,y)\enspace\) (\((x, y)\in D\)) , \(D\) 为开区域
   求 \(z=f(x,y)\) 在 \(D\) 内的极值称为无条件极值
   1. 通过令 \(\begin{cases} \frac{\partial z}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial z}{\partial y}=0 \end{cases}\) 求对应 \(x\)、\(y\) 值
   2. 判别法
      设 \((x_0,y_0)\) 为驻点, \(A=f_{xx}^{\prime\prime}(x_0,y_0)\) , \(B=f_{xy}^{\prime\prime}(x_0,y_0)\) , \(C=f_{yy}^{\prime\prime}(x_0,y_0)\)
      1. 若 \(AC-B^2>0\rArr(x_0,y_0)\) 为极值点
         \(A<0\rArr(x_0,y_0)\) 为极大点
         \(A>0\rArr(x_0,y_0)\) 为极小点
      2. 若 \(AC-B^2<0\rArr(x_0,y_0)\) 不是极值点
3. 条件极值
   • 二元函数: \(z=f(x,y)\) , 约束条件 \(\varphi(x,y)=0\)
     解法:
     设 \(F=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)\)
     令 \(\begin{cases} F_x^\prime=\frac{\partial F}{\partial x}=f_x^\prime+\lambda\varphi_x^\prime=0 \\ F_y^\prime=\frac{\partial F}{\partial y}=f_y^\prime+\lambda\varphi_y^\prime=0 \\ F_\lambda^\prime=\frac{\partial F}{\partial\lambda}=\varphi(x,y)=0 \end{cases}\)
     解方程组, 求出 \(x\)、\(y\) 值
     (之后的就不必多说了吧, 懂得都懂)
   • 三元函数(以及更多元): \(u=f(x,y,z)\) , 约束条件 \(\begin{cases} \varphi(x,y,z)=0 \\ \psi(x,y,z)=0 \end{cases}\)
     解法:
     设 \(F=f+\lambda\varphi+\mu\psi\)
     令 \(\begin{cases} F_x^\prime=0 \\ F_y^\prime=0 \\ F_z^\prime=0 \\ F_\lambda^\prime=0 \\ F_\mu^\prime=0 \end{cases}\)
     解方程组, 求出 \(x\)、\(y\)、\(z\) 值

重积分

二重积分的概念与性质

1. 二重积分的定义
   设 \(f(x,y)\) 在 \(xOy\) 面有限闭区域 \(D\) 内有界

   1. \(D\) 可划分为 \(\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\dots,\Delta\sigma_n\)

   2. \(\forall(\xi_i,\eta_i)\in\Delta\sigma_i\)
      作 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i\enspace\) (\(\Delta\sigma_i\) 可视为底面面积)

   3. \(\lambda\) 为 \(\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\dots,\Delta\sigma_n\) 中的最大值
      若 \(\lim\limits_{\lambda\to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i\) 存在, 称此极限为 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上的二重积分, 记 \(\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma\)

2. 二重积分的性质
   1. 设 \(f(x,y)\)、\(g(x,y)\) 在区域 \(D\) 上可积, 则
      \(\iint\limits_D[af(x,y)+bg(x,y)]\mathrm{d}\sigma=a\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma+b\iint\limits_D g(x,y)\mathrm{d}\sigma\)
   2. 若 \(D=D_1+D_2\) 且 \(D_1\cap D_2=\varnothing\) , 则
      \(\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\iint\limits_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma+\iint\limits_{D_2}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\)
   3. \(\iint\limits_D 1\mathrm{d}\sigma=A\)
   4. 若 \(f(x,y)\geqslant g(x,y)\enspace\) (\((x, y)\in D\)) 则 \(\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma\geqslant\iint\limits_D g(x,y)\mathrm{d}\sigma\)
   5. 若 \(f(x,y)\) 和 \(|f(x,y)|\) 在 \(D\) 上可积, 则 \(|\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma|\leqslant\iint\limits_D|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma\)
   6. 二重积分中值定理
      \(D\) 为有限闭区域, \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上连续
      则 \(\exist(\xi,\eta)\in D\) , 使 \(\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)A\enspace\) (\(A\) 为区域 \(D\) 的面积)
      证明:
      \(\because f(x,y)\in c(D)\)
      \(\therefore f(x,y)\) 在 \(D\) 上有上下界 \(m\)、\(M\) , 使 \(m\leqslant f(x,y)\leqslant M\)
      \(\therefore \iint\limits_D m\mathrm{d}\rho\leqslant\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma\leqslant \iint\limits_D M\mathrm{d}\rho\)
      \(\rArr m\iint\limits_D 1\mathrm{d}\rho\leqslant\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma\leqslant M\iint\limits_D 1\mathrm{d}\rho\)
      \(\rArr mA\leqslant\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma\leqslant MA\)
      \(\rArr m\leqslant\frac{1}{A}\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma\leqslant M\)
      \(\exist(\xi,\eta)\in D\) , 使 \(f(\xi,\eta)=\frac{1}{A}\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma\rArr\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)A\)

二重积分的计算法

1. 直角坐标法计算二重积分

   • 情况1 (沿着 \(x\) 轴扫 \(y\) 轴)
     \(D=\{(x,y)|a\leqslant x\leqslant b,\varphi_1(x)\leqslant y\leqslant \varphi_2(x)\}\)
     则 \(\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\int_a^b[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y]\mathrm{d}x\)

   • 情况2 (沿着 \(y\) 轴扫 \(x\) 轴)
     \(D=\{(x,y)|c\leqslant y\leqslant d,\varphi_1(y)\leqslant x\leqslant\varphi_2(y)\}\)
     则 \(\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\int_c^d[\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x]\mathrm{d}y\)

2. 极坐标法计算二重积分

   1. 特征:
      区域 \(D\) 的边界含 \(x^2+y^2\)
      \(f(x,y)\) 含 \(x^2+y^2\)

   2. 变换:

      \(\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}\) , \(\alpha\leqslant\theta\leqslant\beta\) , \(r_1(\theta)\leqslant r\leqslant r_2(\theta)\)

   3. \(\mathrm{d}\sigma\)
      取 \([\theta,\theta+\mathrm{d}\theta]\)
      取 \([r,r+\mathrm{d}x]\)
      则 \(\mathrm{d}\sigma=\mathrm{d}r\cdot r\mathrm{d}\theta\)

   \(\therefore\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\int_\alpha^\beta[\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}r\cdot f(r\cos\theta, r\sin\theta)\mathrm{d}r]\mathrm{d}\theta\)

三重积分

1. 三重积分的定义
   设 \(\Omega\) 为空间有限几何体, \(f(x,y,z)\) 在 \(\Omega\) 上有界
   将 \(\Omega\) 划分为 \(\Delta V_1,\Delta V_2,\dots,\Delta V_n\)
   \(\forall(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\in\Delta V_i\) , 作 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i\)
   \(\lambda\) 为 \(\Delta V_1,\Delta V_2,\dots,\Delta V_n\) 直径最大值
   若 \(\lim\limits_{\lambda\to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^n f(\xi_i,n_i,\zeta_i)\Delta V_i\) 存在, 称此极限为 \(f(x,y,z)\) 在 \(\Omega\) 上的三重积分, 记 \(\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}v\)
   即 \(\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}v=\lim\limits_{\lambda\to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^n f(\xi_1,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i\)
   (三重积分的几何意义是空间几何体的质量)
2. 三重积分的性质
   1. \(\iiint\limits_\Omega 1\mathrm{d}v=V\)
   2. 三重积分中值定理: \(\Omega\) 为有限闭区域, \(f(x,y,z)\) 在 \(\Omega\) 上连续, 则 \(\exist(\xi,\eta,\zeta)\in\Omega\) 使 \(\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}v=f(\xi,\eta,\zeta)V\)
3. 三重积分的计算方法

   1. 直角坐标法

      1. 铅直投影法

         (\(\Sigma_1\) 为下半球曲面, \(\Sigma_2\) 为上半球曲面)
         \(\Omega=\{(x,y,z)|(x,y)\in Dxy,\varphi_1(x,y)\leqslant z\leqslant\varphi_2(x,y)\}\)
         \(\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}v=\iint\limits_{Dxy}[\int_{\varphi_1(x,y)}^{\varphi_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z]\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

      2. 切片法

         (每层切片的 \(D\) 都不同, 用 \(Dz\) 表示)
         \(\Omega=\{(x,y,z)|(x,y)\in Dz, c\leqslant z\leqslant d\}\)
         \(\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}v=\int_c^d[\iint\limits_{Dz} f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y]\mathrm{d}z\)

   2. 柱面坐标变换法(柱面坐标=极坐标+\(z\) 轴)

      1. 特征:

         1. 区域 \(\Omega\) 的边界含 \(x^2+y^2\)
         2. \(f(x,y,z)\) 含 \(x^2+y^2\)

      2. 变换:
         \(\Omega=\{(x,y,z)|(x,y)\in Dxy,\varphi_1(x,y)\leqslant z\leqslant\varphi_2(x,y)\}\)
         令 \(\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases}\) ,
         其中 \(\alpha\leqslant\theta\leqslant\beta\) , \(r_1(\theta)\leqslant r\leqslant r_2(\theta)\) , \(\varphi_1(r\cos\theta,r\sin\theta)\leqslant z\leqslant\varphi_2(r\cos\theta,r\sin\theta)\)

      3. \(\mathrm{d}v\)

         \(\mathrm{d}v=\mathrm{d}r\cdot r\mathrm{d}\theta\cdot\mathrm{d}z\) (再乘上 \(z\) 轴的微分)

      \(\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}v=\int_\alpha^\beta\mathrm{d}\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}\mathrm{d}r\int_{\varphi_1(r\cos\theta,r\sin\theta)}^{\varphi_2(r\cos\theta,r\sin\theta)}r\cdot f(r\cos\theta, r\sin\theta,z)\mathrm{d}z\)

   3. 球面坐标变换法

      1. 特征:

         1. \(\Omega\) 的表面含 \(x^2+y^2+z^2\)
         2. \(f(x,y,z)\) 含 \(x^2+y^2+z^2\)

      2. 变换

         (\(OM\) 跟 \(Ox\) 方向的夹角为 \(\theta\) ; 跟 \(Oz\) 方向的夹角为 \(\varphi\))
         \(\begin{cases} x=r\cos\theta\sin\varphi \\ y=r\sin\theta\sin\varphi \\ z=r\cos\varphi \end{cases}\)

      3. \(\mathrm{d}v\)
         \([\theta,\theta+\mathrm{d}\theta]\)
         \([\varphi,\varphi+\mathrm{d}\varphi]\)
         \([r,r+\mathrm{d}r]\)
         (\(\mathrm{d}v\) 是一个立方体)

         \(\mathrm{d}v=\mathrm{d}r\cdot r\mathrm{d}\varphi\cdot r\sin\varphi\mathrm{d}\theta=r^2\sin\varphi\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi\)

重积分的应用

1. 几何应用
   1. 面积

      1. \(D\) 为 \(xOy\) 面内有限闭区域, 则 \(D\) 的面积为 \(A=\iint\limits_D 1\mathrm{d}\sigma\)

      2. 空间曲面的面积
         \(\Sigma:z=f(x,y)\enspace\) (\((x,y)\in Dxy\))

         1. \(\forall\mathrm{d}\sigma\subset Dxy\)
         2. 法向量 \(\vec{n}=\{-f_x^\prime,-f_y^\prime,1\}\)
            推导:
            (来自多元函数微分学的几何应用-空间曲面上某一点的法向量)
            若 \(\Sigma:F(x,y,z)=0\), 法向量 \(\vec{n}=\{F_x^\prime,F_y^\prime,F_z^\prime\}_{M_0}\)
            这里 \(\Sigma:z=f(x,y)\rArr F(x,y,z)=z-f(x,y)=0\)
            因此 \(\vec{n}=\{-f_x^\prime,-f_y^\prime,1\}\)
         3. \(\mathrm{d}s=\sqrt{1+f_x^{\prime 2}+f_y^{\prime 2}}\mathrm{d}\sigma\)
            推导:
            \(\cos\gamma=\frac{1}{\sqrt{1+f_x^{\prime 2}+f_y^{\prime 2}}}\) (法向量和 \(z\) 轴夹角, 参见向量及其线性运算-向量方向角和方向余弦)
            \(\because\mathrm{d}s\cos\gamma=\mathrm{d}\sigma\)
            \(\therefore\mathrm{d}s=\sqrt{1+f_x^{\prime 2}+f_y^{\prime 2}}\mathrm{d}\sigma\)
         4. 面积 \(A=\iint\limits_{Dxy}\mathrm{d}s=\iint\limits_{Dxy}\sqrt{1+f_x^{\prime 2}+f_y^{\prime 2}}\mathrm{d}\sigma\)
2. 物理应用

   1. 质心

      1. 二维

         \(m=\iint\limits_D\rho(x,y)\mathrm{d}\sigma\)
         \(\bar{x}=\frac{\iint\limits_D x\rho(x,y)\mathrm{d}\sigma}{\iint\limits_D\rho(x,y)\mathrm{d}\sigma}\) , \(\bar{y}=\frac{\iint\limits_D y\rho(x,y)\mathrm{d}\sigma}{\iint\limits_D\rho(x,y)\mathrm{d}\sigma}\)

      2. 三维

         \(m=\iiint\limits_\Omega\rho(x,y,z)\mathrm{d}v\)
         \(\bar{x}=\frac{\iiint\limits_\Omega x\rho(x,y,z)\mathrm{d}v}{\iiint\limits_\Omega\rho(x,y,z)\mathrm{d}v}\) , \(\bar{y}=\frac{\iiint\limits_\Omega y\rho(x,y,z)\mathrm{d}v}{\iiint\limits_\Omega\rho(x,y,z)\mathrm{d}v}\) , \(\bar{z}=\frac{\iiint\limits_\Omega z\rho(x,y,z)\mathrm{d}v}{\iiint\limits_\Omega\rho(x,y,z)\mathrm{d}v}\)

   2. 转动惯量(刚体绕轴转动时的惯性, 大小为质量乘以距离的平方 \(I=mr^2\))

      1. 二维

         绕直线 \(L\) 旋转: \(I_L=\iint\limits_D d^2\rho(x,y)\mathrm{d}\sigma\)
         绕 \(x\) 轴旋转: \(I_x=\iint\limits_D y^2\rho(x,y)\mathrm{d}\sigma\)
         绕 \(y\) 轴旋转: \(I_y=\iint\limits_D x^2\rho(x,y)\mathrm{d}\sigma\)
         绕原点旋转: \(I_o=\iint\limits_D(x^2+y^2)\rho(x,y)\mathrm{d}\sigma\)

      2. 三维

         \(I_x=\iiint\limits_\Omega(y^2+z^2)\rho(x,y,z)\mathrm{d}v\)
         \(I_y=\iiint\limits_\Omega(x^2+z^2)\rho(x,y,z)\mathrm{d}v\)
         \(I_z=\iiint\limits_\Omega(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\mathrm{d}v\)

   3. 引力

      求到质量为 \(m\) 的点 \((0,0,c)\) 的引力:

      1. \(\forall\mathrm{\sigma}\subset D\)
      2. \(\mathrm{d}|\vec{F}|=k\frac{m\cdot\rho\mathrm{d}\sigma}{x^2+y^2+c^2}\) (\(k\) 为引力常数)
      3. \(\mathrm{d}|\vec{F_x}|=\mathrm{d}|\vec{F}|\cdot\cos\theta\cdot\cos\alpha\)
         \(\mskip{2.5em}=\mathrm{d}|\vec{F}|\cdot\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2+c^2}}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
         \(\mskip{2.5em}=\frac{km\cdot\rho(x,y)\cdot x}{(x^2+y^2+c^2)^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}\sigma\)
      4. \(x\) 轴的分力 \(|\vec{F_x}|=\iint\limits_{D}\mathrm{d}|\vec{F_x}|=km\iint\limits_{D}\frac{x\rho(x,y)}{(x^2+y^2+c^2)^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}\sigma\)

曲线积分与曲面积分

对弧长的曲线积分

1. 背景:
   \(\rho(x,y)\) 为线密度函数
   经典积分思想:

   1. \(L\) 划分为 \(\Delta S_1,\dots,\Delta S_n\)
   2. \(\forall(\xi_i,\eta_i)\in\Delta S_i\)
      \(\Delta m_i=\rho(\xi_i,\eta_i)\Delta S_i\)
   3. 令 \(\lambda\) 为 \(\Delta S_1,\dots,\Delta S_n\) 最大值
      曲线总质量 \(m=\lim\limits_{\lambda\to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^n\rho(\xi_i,\eta_i)\Delta S_i\)

   元素法思想:

   1. \(\forall\mathrm{d}s\subset L\)
   2. \(\mathrm{d}m=\rho(x,y)\mathrm{d}s\)
   3. \(m=\int_L\mathrm{d}m=\int_L\rho(x,y)\mathrm{d}s\)

2. 对弧长曲线积分定义: \(\int_L f(x,y)\mathrm{d}s\)

3. 性质

   1. \(\int_L\alpha f+\beta g\mathrm{d}s=\alpha\int_L f\mathrm{d}s+\beta\int_L g\mathrm{d}s\)
   2. \(L=L_1+L_2\) 且 \(L_1\cap L_2=\varnothing\) , 则 \(\int_L f(x,y)\mathrm{d}s=\int_{L_1} f(x,y)\mathrm{d}s+\int_{L_2} f(x,y)\mathrm{d}s\)
   3. \(\int_L 1\mathrm{d}s=L\)
   4. 若在 \(L\) 上 \(f(x,y)\leqslant g(x,y)\) , 则 \(\int_L f(x,y)\mathrm{d}s\geqslant\int_L g(x,y)\mathrm{d}s\)
   5. \(|\int_L f(x,y)\mathrm{d}s|\leqslant\int_L|f(x,y)|\mathrm{d}s\)

4. 对弧长曲线积分计算方法

   1. \(L\) 为直角坐标形式
      1. \(L:y=\varphi(x)\enspace\) (\(a\leqslant x\leqslant b)\)
      2. \(\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2}=\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2}\mathrm{d}x=\sqrt{1+[f^\prime(x)]^2}\mathrm{d}x\)
      3. \(\int_L f(x,y)\mathrm{d}s=\int_a^b f[x,\varphi(x)]\sqrt{1+[f^\prime(x)]^2}\mathrm{d}x\)
   2. \(L\) 为参数形式
      1. \(L:\begin{cases} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases}\enspace\) (\(\alpha\leqslant t\leqslant\beta\))
      2. \(\mathrm{d}s=\sqrt{[\varphi^\prime(t)]^2+[\psi^\prime(t)]^2}\mathrm{d}t\)
      3. \(\int_L f(x,y)\mathrm{d}s=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t),\psi(t)]\cdot\sqrt{[\varphi^\prime(t)]^2+[\psi^\prime(t)]^2}\mathrm{d}t\)

对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)

1. 背景: 做功(力的正交分解)

   1. 二维

      \(\vec{F}=\{P(x,y),Q(x,y)\}\)

      1. \(\forall\vec{\mathrm{d}s}\subset L\)
         \(\vec{\mathrm{d}s}=\{\mathrm{d}x,\mathrm{d}y\}\)
      2. \(\mathrm{d}w=\vec{F}\cdot\vec{\mathrm{d}s}=P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y\)
      3. \(w=\int_L\mathrm{d}w=\int_L p(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y\)

   2. 三维

      1. \(\forall\vec{d}s\subset L\)
         \(\vec{d}s=\{\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z\}\)
      2. \(\mathrm{d}w=\vec{F}\cdot\vec{\mathrm{d}s}=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z\)
      3. \(w=\int_L\mathrm{d}w=\int_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z\)
2. 对坐标的曲线积分定义
   1. 二维: \(\int_L P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y\)
      其中 \(\int_L P(x,y)\mathrm{d}x\) 称为函数 \(P(x,y)\) 在有向曲线段 \(L\) 上对坐标 \(x\) 的曲线积分.
   2. 三维: \(\int_L P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z\)
3. 性质
   1. \(\int_L [af_1(x,y)+bf_2(x,y)]\mathrm{d}x=a\int_L f_1(x,y)\mathrm{d}x+b\int_L f_2(x,y)\mathrm{d}x\)
   2. \(\int_{L^-}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=-\int_L P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y\)
4. 对坐标的曲线积分基本计算法(二维)
   1. 直角坐标法
      对 \(\int_L P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y\)
      1. \(L:y=\varphi(x)\enspace\) (\(x\in[a,b]\))
      2. \(\int_L P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=\int_a^b P[x,\varphi(x)]\mathrm{d}x+Q[x,\varphi(x)]\cdot\varphi^\prime(x)\mathrm{d}x\)
   2. 参数方程法
      1. \(L:\begin{cases} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases}\enspace\) (\(t\in[\alpha,\beta]\))
      2. \(\int_L P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=\int_\alpha^\beta P[\varphi(t),\psi(t)]\varphi^\prime(t)\mathrm{d}t+Q[\varphi(t),\psi(t)]\psi^\prime(t)\mathrm{d}t\)

格林公式及应用

1. 二维区域的边界

   (单连通区域边界逆时针为正向; 多连通区域外边界逆时针为正向, 内边界顺时针为正向)

2. 格林公式:
   设 \(D\) 为连通区域, \(L\) 为 \(D\) 的正向边界
   若 \(P(x,y)\)、\(Q(x,y)\) 在 \(D\) 上连续可偏导, 则
   \(\oint_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}\sigma\enspace\) (\(\oint\) 表示封闭边界, 即边界是闭合的. 依旧用 \(\int\) 也行)
   证明:

   1. 单连通区域

      • \(\oint_L P\mathrm{d}x=-\iint\limits_D\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}\sigma\)

        \(\oint_L P\mathrm{d}x=\int_{L_1}P\mathrm{d}x+\int_{L_2}P\mathrm{d}x\)
        \(=\int_a^b P[x,\varphi_1(x)]\mathrm{d}x+\int_b^a P[x,\varphi_2(x)]\mathrm{d}x\)
        \(=\int_a^b\{P[x,\varphi_1(x)]-P[x,\varphi_2(x)]\}\mathrm{d}x\)

        \(\iint\limits_D\frac{\partial P}{\partial y}d\sigma=\int_a^b\mathrm{d}x\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}y\)
        \(=\int_a^b P(x,y)|_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}\mathrm{d}x=\int_a^b\{P[x,\varphi_2(x)]-P[x,\varphi_1(x)]\}\mathrm{d}x\)
        \(\therefore\oint_L P\mathrm{d}x=-\iint\limits_D\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}\sigma\)

      • \(\oint_L Q\mathrm{d}y=\iint\limits_{D}\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}\sigma\)

        \(\oint_L Q\mathrm{d}y=\int_{L_1}Q\mathrm{d}y+\int_{L_2}Q\mathrm{d}y\)
        \(=\int_d^c Q[\psi_1(y),y]\mathrm{d}y+\int_c^d Q[\psi_2(y),y]\mathrm{d}y\)
        \(=\int_c^d\{Q[\psi_2(y),y]-Q[\psi_1(y),y]\}\mathrm{d}y\)

        \(\iint\limits_{D}\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}\sigma=\int_c^d\mathrm{d}y\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}x\)
        \(=\int_c^d Q(x,y)|_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}\mathrm{d}y=\int_c^d\{Q[\psi_2(y),y]-Q[\psi_1(y),y]\}\mathrm{d}y\)
        \(\therefore\oint_L Q\mathrm{d}y=\iint\limits_{D}\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}\sigma\)

      \(\oint_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}\sigma\enspace\)

   2. 多联通区域

      \(\oint\limits_{\overline{AMB}+\overline{BD}+\overline{DEC}+\overline{CA}}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint\limits_{D_1}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}\sigma)\)
      \(\oint\limits_{\overline{AC}+\overline{CFD}+\overline{DB}+\overline{BNA}}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint\limits_{D_2}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}\sigma\)
      \(\because(\overline{AMB}+\overline{BD}+\overline{DEC}+\overline{CA})+(\overline{AC}+\overline{CFD}+\overline{DB}+\overline{BNA})\)
      \(\mskip{1em}=\overline{AMB}+\overline{DEC}+\overline{CFD}+\overline{BNA}=L_1+L_2=L\)
      \(\therefore\oint_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint\limits_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}\sigma\)

对面积的曲面积分

1. 背景
   经典积分思想:

   1. \(\Sigma\) 划分为 \(\Delta S_1,\dots,\Delta S_n\)
   2. \(\forall(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\in\Delta S_i\)
      \(\Delta m_i\approx \rho(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i\)
   3. 令 \(\lambda\) 为 \(\Delta S_1,\dots,\Delta S_n\) 直径最大值
      曲面总质量 \(m=\lim\limits_{\lambda\to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^n\rho(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i\)

   元素法思想:

   1. \(\forall\mathrm{d}s\subset\Sigma\)
   2. \(\mathrm{d}m=\rho(x,y,z)\mathrm{d}s\)
   3. \(m=\iint\limits_{\Sigma}\rho(x,y,z)\mathrm{d}s\)

2. 对面积的曲面积分的定义: \(\iint\limits_{\Sigma}f(x,y,z)\mathrm{d}s\)

3. 计算方法: 二重积分法

   1. \(\Sigma:z=\varphi(x,y)\enspace\) (\((x,y)\in Dxy\))
   2. \(\mathrm{d}s=\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime^2}}\mathrm{d}\sigma\)
      (参见重积分应用-空间曲面的面积)
   3. 面积 \(\iint\limits_\Sigma f(x,y,z)\mathrm{d}s=\iint\limits_{Dxy} f[x,y,\varphi(x,y)]\cdot\sqrt{1+\varphi_x^{\prime 2}+\varphi_y^{\prime 2}}\mathrm{d}\sigma\)

对坐标的曲面积分

曲面分有侧和无侧(如莫比乌斯环)

1. 背景: 求流体的流量

   流速 \(\vec{v}=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}\)
   则有通量 \(\Phi=\vec{v}\cdot\vec{s}=|\vec{v}|\mathrm{d}s\cdot\cos\theta\)

2. 对坐标的曲面积分的定义
   设有侧曲面块 \(\Sigma\) , \(P(x,y,z)\)、\(Q(x,y,z)\)、\(R(x,y,z)\) 在有侧曲面上有界

   1. \(\Sigma\) 分为 \(\overrightarrow{\Delta s_1},\dots,\overrightarrow{\Delta s_n}\)

   2. \(\overrightarrow{\Delta S_i}\) 在 \(yOz\) 面、\(xOz\) 面、\(xOy\) 面投影为 \((\Delta s_i)_{yz}\)、\((\Delta s_i)_{xz}\)、\((\Delta s_i)_{xy}\) ,
      \(\forall(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\in\overrightarrow{\Delta S_i}\) , 作
      \(\displaystyle\sum_{i=1}^n P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta s_i)_{yz}\)
      \(\displaystyle\sum_{i=1}^n Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta s_i)_{xz}\)
      \(\displaystyle\sum_{i=1}^n R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta s_i)_{xy}\)

   3. 令 \(\lambda\) 为 \(\overrightarrow{\Delta s_1},\dots,\overrightarrow{\Delta s_n}\) 直径最大值
      (前提是极限存在)

      • \(\lim\limits_{\lambda\to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^n P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta s_i)_{yz}=\iint\limits_\Sigma P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z\enspace\) (称为 \(P\) 在有侧曲面 \(\Sigma\) 上对坐标 \(y\)、\(z\) 的曲面积分)
      • \(\lim\limits_{\lambda\to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^n Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta s_i)_{xz}=\iint\limits_\Sigma Q(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}z\enspace\) (称为 \(P\) 在有侧曲面 \(\Sigma\) 上对坐标 \(x\)、\(z\) 的曲面积分)
      • \(\lim\limits_{\lambda\to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^n R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta s_i)_{xy}=\iint\limits_\Sigma R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\enspace\) (称为 \(P\) 在有侧曲面 \(\Sigma\) 上对坐标 \(x\)、\(y\) 的曲面积分)

      因此有 \(\iint\limits_\Sigma P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\iint\limits_\Sigma Q\mathrm{d}x\mathrm{d}z+\iint\limits_\Sigma R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_\Sigma P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}x\mathrm{d}z+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

   • 性质:
     1. \(\iint\limits_\Sigma=\iint\limits_{\Sigma_1}+\iint\limits_{\Sigma_2}\)
     2. \(\iint\limits_{\Sigma^-}=-\iint\limits_\Sigma\)
        (\(\Sigma^-\) 代表曲面的另一侧)

3. 两类曲面积分关系

   对 \(\iint\limits_\Sigma P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y\) , 有
   \(\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\mathrm{d}s\cdot\cos\alpha\)
   \(\mathrm{d}x\mathrm{d}z=\mathrm{d}s\cdot\cos\beta\)
   \(\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\mathrm{d}s\cdot\cos\gamma\)
   \(\iint\limits_\Sigma P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}x\mathrm{d}z+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_\Sigma (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\mathrm{d}s\)

4. 计算方法: 二重积分法

   1. \(\Sigma:z=\varphi(x,y)\enspace\) (\((x,y)\in Dxy\))
   2. \(\iint\limits_\Sigma R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pm\iint\limits_{Dxy}R[x,y,\varphi(x,y)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)
      (\(\Sigma\) 取上侧为正, \(\Sigma\) 取下侧为负)

高斯公式

定义:

1. \(\Omega\) 为几何体, 曲面 \(\Sigma\) 为 \(\Omega\) 的外表面
2. 函数 \(P\)、\(Q\)、\(R\) 在 \(\Omega\) 上连续可偏导, 则
   \(\oiint\limits_\Sigma P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iiint\limits_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}v\)
   (\(\oiint\) 表示封闭曲面, 依旧用 \(\iint\) 同样可行)

   • 证明: (仅证 \(\oiint\limits_\Sigma R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iiint\limits_\Omega\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}v\))

     1. \(\oiint\limits_\Sigma R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_{\Sigma_1}R\mathrm{d}x\mathrm{d}y-\iint\limits_{\Sigma_2}R\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)
        \(\iint\limits_{\Sigma_1} R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-\iint\limits_{Dxy}R[x,y,\varphi_1(x,y)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)
        \(\iint\limits_{\Sigma_2} R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_{Dxy}R[x,y,\varphi_2(x,y)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)
        \(\therefore\oiint\limits_\Sigma R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_{Dxy}\{R[x,y,\varphi_2(x,y)]-R[x,y,\varphi_1(x,y)]\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)
     2. \(\Omega=\{(x,y,z)|(x,y)\in Dxy,\varphi_1(x,y)\leqslant z\leqslant\varphi_2(x,y)\}\)
        \(\iiint\limits_\Omega\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}v=\iint\limits_{Dxy}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\int_{\varphi_1(x,y)}^{\varphi_2(x,y)}\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}z\)
        \(=\iint\limits_{Dxy}R(x,y,z)|_{\varphi_1(x,y)}^{\varphi_2(x,y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)
        \(=\iint\limits_{Dxy}\{R(x,y,\varphi_1(x,y))-R(x,y,\varphi_2(x,y))\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

     \(\therefore\oiint\limits_\Sigma R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iiint\limits_\Omega\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}v\)

斯托克斯公式

定义:
\(\Sigma\) 为光滑曲面块, \(\Gamma\) 为 \(\Sigma\) 的界, \(\Sigma\) 的侧与 \(\Gamma\) 的方向按右手确定
函数 \(P, Q, R\) 在 \(\Sigma\) 连续可偏导, 则

$$ \oint_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z=\iint\limits_\Sigma \begin{vmatrix} \mathrm{d}y\mathrm{d}z & \mathrm{d}z\mathrm{d}x & \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} =\iint\limits_\Sigma \begin{vmatrix} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}\mathrm{d}s $$

其中 \(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma\) 为曲面 \(\Sigma\) 法向量的方向余弦

无穷级数

常数项级数的概念和性质

1. 定义: 设常数列 \({a_n}\) , 称 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 为常数项级数
   \(S_n=a_1+\dots+a_n\) 为部分和
   若 \(\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S\) 称级数收敛于 \(S\) ; 若极限不存在, 称级数发散
   \(S_n\neq\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) , \(\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\)
2. 常数项级数性质:
   1. \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=A\) , \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n=B\) , 则 \(\begin{cases} \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n)=A+B \\ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (a_n-b_n)=A-B \end{cases}\)
   2. \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty ka_n=kS\)
   3. 级数中添加、减少、改变有限项, 级数的收敛性不变
   4. 添加括号后收敛性不降低(即收敛性可能会提高)
      如 \(S_n=1-1+1-1+\dots\) 发散
      但 \(S_n=(1-1)+(1-1)+\dots\) 收敛于0
   5. 收敛必要条件: 设 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 收敛, 则 \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0\) , 反之不对(如调和级数)
3. 几何级数: \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty aq^n\begin{cases} |q|\geqslant1 & \text{发散} \\ |q|<1 & =\frac{\text{首项}}{1-\text{公比}} \end{cases}\) (公式推导参考等比数列)

常数项级数的审敛法

1. 正向级数及审敛法

   1. 定义: 设 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) , 若 \(\forall n\) , \(a_n\geqslant0\) , 称 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 为正向级数
      若 \(S_1\leqslant S_2\leqslant S_3\leqslant\dots\) , 记 \(\{S_n\}\uarr\) (表示 \(S_n\) 单调递增);
      • 情况1：\(\{S_n\}\) 无上界 \(\rArr \lim\limits_{n\to\infty} S_n=+\infty \rArr \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 发散
      • 情况2: \(S_n\leqslant M\rArr\lim\limits_{n\to\infty}S_n\) 存在 \(\rArr\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 收敛
   2. 审敛法
      1. 比较法
         \(a_n\leqslant b_n\) 且 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n\) 收敛, 则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 收敛
         \(a_n\geqslant b_n\) 且 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n\) 发散, 则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 发散
      2. 比较法(极限形式)
         设正项级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\)、\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n\)
         若 \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=l\enspace\) (\(0<l<+\infty\))
         则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 与 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n\) 敛散性相同
      3. 比值法
         设正项级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\)
         若 \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\rho\)
         则 \(\rho<1\) 时, 级数收敛;
         \(\mskip{1em}\rho>1\) 时, 级数发散.
      4. 根值法
         设正项级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\)
         若 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\rho\)
         则 \(\rho<1\) 时, 级数收敛;
         \(\mskip{1em}\rho>1\) 时, 级数发散.

2. \(p-\)级数:

   1. \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}\) 称为 \(p-\)级数
      若 \(p=1\) , 称 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\) 为调和级数
   2. \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} \begin{cases} p>1 & \text{收敛} \\ p\leqslant 1 & \text{发散} \end{cases}\) (审敛法使用根值法)

3. 交错级数及审敛法

   1. 交错级数:
      形如 \(a_1-a_2+a_3-a_4+\dots\) 或 \(-a_1+a_2-a_3+a_4-\dots\enspace\) (\(\forall n, a_n\geqslant 0\))
      即 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n\) 或 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n a_n\enspace(\forall n,a_n\geqslant 0)\)
   2. 莱布尼茨审敛法
      对于 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}a_n\enspace\) (\(\forall n,a_n\geqslant 0\))
      若 \(\{a_n\}\darr\) 且 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)
      则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}a_n\) 收敛, 且 \(S\leqslant a_1\)

4. 绝对收敛与条件收敛

   1. 取绝对值(提高发散性): \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\rarr\displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n|\)
   2. 定义
      1. 当 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 收敛, 而 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n|\) 发散, 称 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 条件收敛
         如 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots\) 收敛
         但 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty|\frac{(-1)^{n-1}}{n}|=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\) 发散 (\(p-\)级数)
      2. 当 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n|\) 收敛, 称 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 绝对收敛
   3. 结论: 若 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 绝对收敛, 则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 收敛

幂级数的概念与分析性质

1. 函数项级数的概念
   设函数数列 \(\{u_n(x)\}\) , 称 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\) 为函数项级数
   若 \(x=x_0\) 时 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n(x_0)\) 收敛, 称 \(x=x_0\) 为收敛点
   若 \(x=x_1\) 时 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n(x_1)\) 发散, 称 \(x=x_1\) 为发散点
   例: \(x+x^2+x^3+x^4+\dots=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty x^n\)
   当 \(x=\frac{2}{3}\) 时收敛; 当 \(x=2\) 时发散.
2. 幂级数概念与基本定理
   1. 幂级数定义:
      \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots\)
      或 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\dots\)
   2. 基本定理(Abel定理)
      1. 若 \(x=x_0(\neq 0)\) 时 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x_0^n\) 收敛. 则当 \(|x|<|x_0|\) 时, \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) 绝对收敛
      2. 若 \(x=x_1\) 时 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x_1^n\) 发散. 则当 \(|x|>|x_1|\) 时, \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) 发散
3. 收敛半径与收敛域
   \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\) 的所有收敛点组成的集合称为收敛域, 记为 \(D\)
   收敛半径 \((-R,R)\) 内级数绝对收敛,
   \((-\infty,-R)\cup(R,+\infty)\) 内级数发散,
   \(x=\pm R\) 时可能收敛可能发散

   • 定理1: 对于 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\)
     若 \(\lim\limits_{n\to\infty}|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho\)

     1. \(\rho=0\rArr R=+\infty\)
     2. \(\rho=+\infty\rArr R=0\)
     3. \(0<\rho<+\infty\rArr R=\frac{1}{\rho}\)

   • 定理2: 对于 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\)
     若 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho\)

     1. \(\rho=0\rArr R=+\infty\)
     2. \(\rho=+\infty\rArr R=0\)
     3. \(0<\rho<+\infty\rArr R=\frac{1}{\rho}\)

   • 对于 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n+1}=a_0x+a_1x^3+a_2x^5+\dots\)
     \(\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho\)

     1. \(\rho=0\rArr R=+\infty\)
     2. \(\rho=+\infty\rArr R=0\)
     3. \(0<\rho<+\infty\rArr R=\sqrt{\frac{1}{\rho}}\)
4. 幂级数和函数的分析性质
   \(\forall x\in D\) , 和函数 \(S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\)
   • 逐项可积性
     若 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) 的和函数 \(S(x)\) 在其收敛域上可积
     则 \(\int_0^x S(x)\mathrm{d}x=\int_0^x (\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n)\mathrm{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\int_0^x a_nx^n\mathrm{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1}\)
     且 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) 与 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1}\) 收敛半径相同
   • 逐项可导性
     若 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) 的和函数 \(S(x)\) 在其收敛域上可导
     则 \((\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n)^\prime=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty(a_n x^n)^\prime=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}\)
     且 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) 与 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}\) 收敛半径相同

函数展开成幂级数

1. 直接法
   设 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 邻域内任意阶可导.
   则 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 邻域内展成 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\) 的充要条件是 \(\lim\limits_{n\to\infty} R_n(x)=0\)
   \(x=0\) 时, \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x-x_0)^n\) 称作麦克劳林级数
   (参见泰勒级数)
2. 间接法
   (基于直接法推导出来的已有公式进行展开)
   • 常用公式: (注意后面的值域范围)
     1. \(e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\circ(x^n)\enspace\) (\(-1<x<1\))
     2. \(\sin x=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\circ(x^{2n+1})\enspace\) (\(-\infty<x<+\infty\))
     3. \(\cos x=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\circ(x^{2n})\enspace\) (\(-\infty<x<+\infty\))
     4. \(\frac{1}{1-x}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+\dots+x^n+\circ(x^n)\enspace\) (\(-1<x<1\))
     5. \(\frac{1}{1+x}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n=1-x+x^2-x^3+\dots+(-1)^nx^n+\circ(x^n)\enspace\) (\(-1<x<1\))
     6. \(\ln(1+x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\circ(x^n)\enspace\) (\(-1<x\leqslant1\))
     7. \(-\ln(1-x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\dots+\frac{x^n}{n}+\circ(x^n)\enspace\) (\(-1\leqslant x<1\))
     8. 欧拉公式: \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)
   • 利用幂级数和函数的逐项可导、可积性

傅里叶级数

1. 背景
   单一周期信号: \(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t\)
   设 \(f(x)\) 是以 \(2\pi\) 为周期的信号
   Q1: \(f(x)\) 可否分解为 \(\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\) 的形式? \(a_0=\text{?}\enspace a_n=\text{?}\enspace b_n=\text{?}\)
   \(\dfrac{a_0}{2}\) 称为直流成份
   \(a_1\cos x+b_1\sin x\) 称为一次谐波
   \(a_2\cos 2x+b_2\sin 2x\) 称为二次谐波

   Q2: \(f(x)\) 与 \(\dfrac{a_0}{2}+\underbrace{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)}_{\text{三角级数}}\) 什么关系?

2. 三角函数系及正交性
   三角函数系: \(1(=\cos 0x=\sin 0x),\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\dots,\cos(nx),\sin(nx)\)
   正交性:

   1. \(\int_{-\pi}^\pi 1\cdot\cos nx\mathrm{d}x=0\enspace\) (\(n=1,2,3,\dots\))
   2. \(\int_{-\pi}^\pi 1\cdot\cos nx\mathrm{d}x=0\enspace\) (\(n=1,2,3,\dots\))
   3. \(\int_{-\pi}^\pi\sin mx\cos nx\mathrm{d}x=0\enspace\) (\(m\)、\(n=1,2,3,\dots\))
   4. \(\int_{-\pi}^\pi\cos mx\cos nx\mathrm{d}x=\begin{cases} 2\pi & m=n=0 \\ \pi & m=n\geqslant 1 \\ 0 & m\neq n \end{cases}\)
   5. \(\int_{-\pi}^\pi\sin mx\sin nx\mathrm{d}x=\begin{cases} \pi & m=n\geqslant 1 \\ 0 & m\neq n \end{cases}\)
   • 推导思路:
     第三个可用和差角公式的变换 \(\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\)
     第四个变体二(\(m=n\geqslant 1\)) 可用二倍角公式的变换 \(\cos^2\alpha=\frac{1}{2}(1+\cos 2\alpha)\)
     第四个变体三同样可用和差叫公式的变换 \(\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\)
     第五个变体二同样可用和差叫公式的变换 \(\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)x-\cos(\alpha+\beta)]\)

3. 周期为 \(2π\) 的函数展开成傅里叶级数
   Dirichlet 充分条件:
   设 \(f(x)\) 是以 \(2\pi\) 为周期的周期级数. 若满足:

   1. \(f(x)\) 在 \([-\pi,\pi]\) 内连续或存在有限个第一类间断点
   2. \(f(x)\) 在 \([-\pi,\pi]\) 内仅有有限个极值点

   则:

   1. \(f(x)\) 可以展成 \(\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\) . 且
      \(a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm{d}x\)
      \(a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\mathrm{d}x\enspace\) (\(n=1,2,3,\dots)\)
      \(b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\mathrm{d}x\enspace\) (\(n=1,2,3,\dots)\)
   2. \(x\) 为 \(f(x)\) 连续点时, 则 \(\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)=f(x)\)
      \(x\) 为 \(f(x)\) 间断点时, 则 \(\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)=\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}\)

   例:
   \(f(x)\) 以 \(2\pi\) 为周期, \(f(x)\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上表达式为 \(f(x)=\begin{cases} -1 & -\pi\leqslant x<0 \\ 1 & 0\leqslant x<\pi \end{cases}\)
   请将 \(f(x)\) 展成 Fourier 级数, 并作其和函数图像.
   解:

   1. 作 \(y=f(x)\) 图, \(x=k\pi\enspace\) (\(k\in Z\) 为 \(f(x)\) 间断点

   2. \(a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm{d}x=0\)
      \(a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\mathrm{d}x=0\enspace\) (\(n=1,2,3,\dots)\)
      \(b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\mathrm{d}x=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi\sin nx\mathrm{d}x=-\frac{2}{n\pi}\cos nx|_0^\pi=\frac{2[1-(-1)^n]}{n\pi}=\) \(\begin{cases} \frac{4}{n\pi} & n=1,3,5,\dots \\ 0 & n=2,4,6,\dots \end{cases}\)

   3. \(f(x)=\frac{4}{\pi}(\frac{1}{1}\sin 1x+\frac{1}{3}\sin 3x+\frac{1}{5}\sin 5x+\dots)=\frac{4}{\pi}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin(2n+1)x}{2n+1}\enspace\) (\(-\infty<x<+\infty\) 且 \(x\neq k\pi(k\in Z)\) (即 \(x\) 取不到间断点))

   4. 当 \(x=k\pi(k\in Z)\) 时
      \(\frac{4}{\pi}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin(2n+1)x}{2n+1}=\frac{f(k\pi-0)+f(k\pi+0)}{2}=0\) (结果是观察图像得出的)

   5. 令 \(S(x)=\frac{4}{\pi}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin(2n+1)x}{2n+1}\)
      作图:

4. 定义于 \([−\pi,\pi]\) 上函数的傅里叶级数(非周期函数)

   • 思想: 设 \(f(x)\) 定义于 \([-\pi,\pi)\)
     1.

     2. \(F(x)\) 展成傅里叶级数
        1. \(a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi F(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm{d}x\)
           \(a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\mathrm{d}x\)
           \(b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\mathrm{d}x\)
        2. \(F(x)=\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\enspace\) (\(-\infty<x<+\infty\) , \(x\neq\) 间断点)
     3. \(f(x)=\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\)
        \(x\) 延拓后有四种可能: \(\begin{pmatrix} -\pi\leqslant x\leqslant\pi , -\pi\leqslant x<\pi \\ -\pi<x\leqslant\pi , -\pi<x<\pi \end{pmatrix}\) , 选择哪个得看延拓后的点能否接上.
        上图中延拓后两端依旧断开所以选择 (\(-\pi<x\leqslant\pi\))

   • 例: 求 \(f(x)=|x|\enspace\) (\(-\pi\leqslant x\leqslant\pi\)) 的傅里叶级数

     1. 对 \(f(x)\) 进行周期延拓

     2. \(a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm{d}x=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\mathrm{d}x=\pi\)
        \(a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\mathrm{d}x=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\cos nx\mathrm{d}x=\frac{2}{n\pi}\int_0^\pi x\mathrm{d}\sin nx\)
        \(=\frac{2}{n\pi}[(x\sin nx)|_0^\pi-\int_0^\pi\sin nx\mathrm{d}x]\) (分部积分法)
        \(=\frac{2}{n^2\pi}\cos nx|_0^\pi=\frac{2}{n^2\pi}[(-1)^n-1]=\begin{cases} -\frac{4}{n^2\pi} & n=1,3,5,\dots \\ 0 & n=2,4,6,\dots \end{cases}\)
        \(b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\mathrm{d}x=0\enspace\) (奇函数 \(\times\) 偶函数 \(=\) 奇函数)

     3. \(|x|=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}(\frac{1}{1^2}\cos x+\frac{1}{3^2}\cos 3x+\frac{1}{5^2}\cos 5x+\dots)\enspace\) (\(-\pi\leqslant x\leqslant\pi\))

     意外的收获:

     1. \(x=0\) 时有 \(0=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\dots)\)
        \(\rArr\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\dots=\frac{\pi^2}{8}\)
        即 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}\)

     2. \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=S\)

        $$ \begin{aligned} S & =\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots \\ & =(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\dots)+(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\dots) \\ & =\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{4}(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots) \\ & =\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{4}S\rArr S=\frac{\pi^2}{6} \end{aligned} $$

        即 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\)

5. 定义于 \([0,π]\) 上函数的傅里叶级数
   思想: 先区间延拓, 再周期延拓.

   1. 区间延拓, 在 \([-\pi, 0]\) 上补充定义:
      奇延拓(补充后图像关于原点对称)
      偶延拓(补充后图像关于\(y\) 轴对称)
   2. 周期延拓:
      • 奇延拓, 周期延拓(正弦级数)
        \(a_0=0\)
        \(a_n=0\)
        \(b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin nx\mathrm{d}x\enspace\) (\(n=1,2,3,\dots\))
        \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin nx\) (正弦级数)
        区间 \(\begin{pmatrix} 0 \leqslant x \leqslant \pi , 0 \leqslant x < \pi \\ 0 < x \leqslant \pi , 0 < x < \pi \end{pmatrix}\) , 选择哪个得看延拓后的点能否接上
      • 偶延拓, 周期延拓(余弦级数)
        \(a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\mathrm{d}x\)
        \(a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos nx\mathrm{d}x\)
        \(b_n=0\)
        \(\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nx\) (余弦级数)
        区间 \((0\leqslant x\leqslant\pi)\)

6. 周期为 \(2l\) 的傅里叶级数

   1. \(f(x)\) 以 \(2l\) 为周期
      设 \(x=\frac{l}{\pi}t\)
      \(f(x)=f(\frac{l}{\pi}t)=F(t)\)
      \(F(t+2\pi)=f[\frac{l}{\pi}(t+2\pi)]=f(\frac{l}{\pi}t+2l)=f(\frac{l}{\pi}t)=F(t)\)
      尝试将 \(F(x)\) 化为傅里叶级数:

      • \(a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi F(t)\mathrm{d}t\xlongequal{t=\frac{\pi}{l}x}\frac{1}{\pi}\int_{-l}^l f(x)\cdot\frac{\pi}{l}\mathrm{d}x=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\mathrm{d}x\)
        (换元后积分上下界要变, 比如把下界的值代入: \(-\pi=\frac{\pi}{l}x\rArr x=-l\))
      • \(a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi F(t)\cos nt\mathrm{d}t\xlongequal{t=\frac{\pi}{l}x}\frac{1}{\pi}\int_{-l}^l f(x)\cos(\frac{n\pi x}{l})\cdot\frac{\pi}{l}\mathrm{d}x=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\cos(\frac{n\pi x}{l})\mathrm{d}x\)
      • \(b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\sin(\frac{n\pi x}{l})\mathrm{d}x\)

      \(F(t)\) 的傅里叶级数为 \(\displaystyle\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nt+b_n\sin nt)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(\frac{n\pi x}{l})+b_n\sin(\frac{n\pi x}{l}))\)

   2. 定理: \(f(x)\) 以 \(2l\) 为周期, 在 \([-l,l)\) 上满足 Dirichlet 充分条件, 则:

      1. \(f(x)\) 可展成 \(\displaystyle\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(\frac{n\pi x}{l})+b_n\sin(\frac{n\pi x}{l}))\)
         \(a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\mathrm{d}x\)
         \(a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\cos(\frac{n\pi x}{l})\mathrm{d}x\)
         \(b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\sin(\frac{n\pi x}{l})\mathrm{d}x\)
      2. 当 \(x\) 为 \(f(x)\) 连续点时 \(\displaystyle\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(\frac{n\pi x}{l})+b_n\sin(\frac{n\pi x}{l}))=f(x)\)
         当 \(x\) 为 \(f(x)\) 间断点时 \(\displaystyle\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(\frac{n\pi x}{l})+b_n\sin(\frac{n\pi x}{l}))=\frac{f(\text{?}-0)+f(\text{?}+0)}{2}\enspace\) (\(\text{?}\) 为间断点坐标)

   3. \(f(x)\) 定义于 \([-l,l]\)
      解决思路: 周期延拓, 最后把 \(x\) 限制到 \([-l,l]\) , 左右端点是否存在看延拓后是否连续

   4. \(f(x)\) 定义于 \([0,l]\)
      先奇延拓或偶延拓, 然后周期延拓, 最后把 \(x\) 限制到 \([-l,l]\) , 左右端点是否存在看延拓后是否连续